第5讲 ：平行四边形 教案

第五讲  平行四边形

一、知识梳理：

考点1  平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。

考点2  平行四边形的性质：

            边：对边平行且相等。

            角：对角相等，邻角互补。

            对角线：对角线互相平分。

考点3  平行四边形的判定：

      边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

          两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

          一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

      角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

考点4  两条平行线的距离。

定义：在两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

性质：两平行线间距离处处相等。

考点5   三角形的中位线

定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

二、课堂精讲：

（一）平行四边形的性质

例1．如图，是平行四边形的对角线上的点，．

请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明。

猜想：

证明：

【随堂演练一】【A类】

1.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是        

2.如图所示，平行四边形ABCD的周长是18cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5cm，则边AB的长是        cm．

3.如图，已知□ABCD中，过对角线的交点O的直线交AD、CB的延长线于E和F，证明：DE＝BF

（二）平行四边形的判定

例2．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。

【随堂演练二】【A类】

1.如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB=DC，AD=BC         B．AB∥DC，AD∥BC

C．AB∥DC，AD=BC        D．AB∥DC，AB=DC

2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）

A．1组     B．2组      C．3组      D．4组

3.如图，在ABCD中，E、F、G、H 分别是各边上的点，且AE=CF，BG=DH。

求证：EF与GH互相平分。

4.已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证：四边形AECF是平行四边形。 

5.如图,在ABCD中，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．

（三）两平行线间的距离

例3.已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（　　）

A．1对      B．2对        C．3对         D．4对

【随堂演练三】【A类】

1.如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形ABCD满足条件           时，△PBA的面积始终保持不变。（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

（四）三角形的中位线

例4.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

【随堂演练四】【A类】

1.如图，在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、  CA的中点。证明：四边形DECF是平行四边形。

2.如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是什么图形？说明理由。

3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不必证明）

（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE）

（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交CD、BA于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.

（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD形状并证明.

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

1.在ABCD中，，则____°

2.已知ABCD的周长为30cm，，则____cm。

3.已知四边形ABCD中，AB∥DC，则可以添加条件_________，使四边形ABCD是平行四边形。(图形中不再添加辅助线)

4.平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，，则的周长为_______，的面积为_______。

5.如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，AB=AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB=3，则BC的长为         。

6.如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm， AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_____cm．

7.从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线，如果这两条高线的夹角是135°，这个平行四边形的锐角的度数是         ．

8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，如果∠CEM=40°，则

∠DME=______度.

9.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为______

二、选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1.在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（     ）

A．AB平行且等于CD      B．

C．     D．

2.能判别一个四边形是平行四边形的条件是（    ）

    A．一组对边相等，另一组对边平行    B．一组对边平行，一组对角互补

    C．一组对角相等，一组邻角互补      D．一组对角互补，另一组对角相等

3.平行四边形不具有的性质是（    ）。

    A．对边平行    B．对边相等    C．对角线互相垂直    D．对角线互相平分

4.□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（    ）。

    A．1：2：3：4     B．1：2：2：1     C．2：2：1：1     D．2：1：2：1

5.如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（　　）

A．2cm    B．1.5cm     C．1.2cm      D．1cm

6.若□ABCD的∠BAD的平分线交BC于E，且AE=BE，则∠BCD等于（    ）。

    A．30°         B．60°         C．90°         D．120°

7.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DEA等于（　　）

A．100°    B．80°    C．60°     D．40°

8.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（　　）

A．平行四边形      B．矩形      C．菱形       D．正方形

9.杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（　　）

A．平行四边形      B．矩形    C．正方形       D．菱形

10.国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB//EF//DC，BC//GH//AD，那么下列说法中错误的是（    ）

A．红花、绿花种植面积一定相等       B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等     D．蓝花、黄花种植面积一定相等

三、解答题

1.如图，点A、D、B、E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明。（不再添加其他的字母与线段）

2.已知：ABCD中，直线MN//AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。   求证：PM=QN。

3.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E、F, 连接ED，BF. 求证：∠1=∠2

4.已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE=CF。

5.已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、AB上DF∥BE，EF交BD于点O．

求证：EO=OF．

6.如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，OE=OF，OA=OC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

7.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．

8.如图，分别以的直角边AC及斜边AB向外作等边，等边．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

⑴试说明AC＝EF；

⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．

9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．

10.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．

第五讲  平行四边形【答案】

例1 BE=DF，且BE∥DF

提示：先证，从而BE=DF,且对应角相等，然后利用“内错角相等，两直线平行”得到BE∥DF。

【随堂演练一】【A类】

1．周长为12

2．边AB的长是2cm

3.证明：∵四边形ABCD是平行四边形

     ∴OA＝OC  AD＝BC    AD∥BC

     ∴∠EAO＝∠FCO

在△EOA和△FOC中，

∴△EOA≌△FOC（ASA）       ∴AE＝CF

∴AE－AD＝CF－CB   即DE＝BF

例2 提示：连接BD，与AC交于点O，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证。

【随堂演练二】【A类】

1.   选C
2.   选C
3.   提示：连接HF、FB、EB、HE，证明，从而证得四边形HEGF是平行四边形，从而EF与GH互相平分。
4.   提示：从而FO=EO,所以四边形AECF是平行四边形。
5.   提示：先证从而DE=BF，又因为M、N分别为ED、FB的中点，所以EM=FN，又因为EM∥FN，所以四边形ENFM是平行四边形。

例3 选C

【随堂演练三】【A类】

四边形ABCD满足条件DC∥AB

例4 提示：连接AC，利用中位线定理证HG与EF平行且相等，从而四边形EFGH是平行四边形。

【随堂演练四】【A类】

1.   提示：DF与EC平行且相等，所以四边形DECF是平行四边形。
2.   提示：连接AC，利用中位线定理得知EF与HG平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形。
3.   （1）△OMN为等腰三角形。

  思路提示：取DB中点G，利用三角形中位线定理证得∠GFE=∠FNO，同理，∠GEF=∠EMO

  ∵AB=CD，∴FG=EG，∴∠GFE=∠GEF，从而∠FNO=∠EMO，∴OM=ON

（2）取BD中点H，连接HF，HG，利用中位线定理得HF=HE,∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，从而△FHE 为等边三角形。∴∠AGF=∠HFE=60°，∠AFG=∠EFD=60°，∴△AFG为等边三角形，从而进一步证∠AGD=90°，所以△AGD为直角三角形。

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

二、选择：

三、解答题

1.     解：∠E=∠ABC.思路提示：先证ADFC为平行四边形，再证CBEF为平行四边形，从而CB∥FE，所以∠E=∠ABC
2.     提示：先证MACQ为平行四边形，从而MQ=AC,再证APNC为平行四边形，从而PN=AC,所以MQ=PN.
3.     提示：证明，从而BE=DF,又BE∥DF，所以BEDF为平行四边形，从而DE∥BF，所以∠1=∠2.
4.     提示：先证四边形EFCD为平行四边形，从而ED=CF，再证BE=ED，从而BE=CF。
5.     提示：利用“两组对边平行的四边形是平行四边形”证明DFBE为平行四边形，从而EO=FO。（平行四边形对角线互相平分）
6.     提示：先证AFCE为平行四边形，从而EC∥AF，即DC∥AB，又因为AD∥BC，所以ABCD是平行四边形。
7.     提示：先由“等边对等角”证AB=AG,CD=ED,由因为平行四边形ABCD，所以AB∥CD，从而AG=ED,所以AE=DG。
8.     （1）先证，从而AC=EF.  （2）AD与EF平行且相等，所以ADFE是平行四边形。
9.     （1）利用“SAS”来证。 （2）ABDF是平行四边形，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证。
10. （1）利用“SAS”来证。  （2）∠AED=85°。