人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理学案

第07课  勾股定理逆定理

知识点01  勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足            ，那么这个三角形是直角三角形.

注意：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点02  如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定       .

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

注意：

当时，此三角形为        三角形；

当时，此三角形为       三角形，其中为三角形的最大边.

知识点03  互逆命题

如果两个命题的题设与结论       ，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

注意：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

知识点04  勾股数

满足不定方程的三个             ，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

注意：

（1）                        （是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）                        （是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3）                         （是自然数）是直角三角形的三条边长；

考法01   原命题与逆命题

【典例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）如果，那么；

（3）等腰三角形两底角相等；

（4）全等三角形的对应角相等．

（5）对顶角相等．

（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

【即学即练】下列定理中，有逆定理的个数是（   ）

①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

考法02  勾股定理逆定理的应用

【典例2】如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．

【即学即练】△ABC三边满足，则△ABC是（    ）

A.锐角三角形    B.钝角三角形    C.等腰三角形    D.直角三角形

【即学即练】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．

【典例3】如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．

【即学即练】下列各组数中，全是勾股数的一组是（　　）

A．2，3，4；6，8，10；5，12，13

B．3，4，5；10，24，26；7，24，25

C．，，；8，15，17；30，40，50

D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41

考法02  勾股定理逆定理的实际应用

【典例4】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？

题组A  基础过关练

1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（       ）

A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6

2．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（              ）

A．13或 B．13或15 C．13 D．15

3．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（　　）

A．24 B．30 C．40 D．48

4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（       ）

A．5 B．25 C．7 D．15

5．若的三边长a、b、c满足，那么是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

7．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（       ）

A． B． C． D．

题组B  能力提升练

8．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是__________.

9．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．

10．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．

11．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．

12．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;

13．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2   ， PC=4，则三角形ABC的边长为________ 

14．如图，点是等边内的一点，，，.若点是外的一点，且，则的度数为_____．

15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．

16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______.

题组C  培优拔尖练

17．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．

（1）求出空地ABCD的面积．

（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：

（1）△ABC的周长；

（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；

（3）△ABC的面积；

（4）点C到AB边的距离．

19．在ABC中，AD⊥BC，点E在AD上，连接BE，CE，AC=BE

（1）若∠DAC＝∠DBE，求证：ADC≌BDE

（2）若∠ACE＝∠DBE，AE=3，CE=4，BC=9，求ED

20．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：

（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；

（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．