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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆导学案，共13页。学案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的定义及其应用等内容，欢迎下载使用。
3．1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程．
导语
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2).②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2)，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
知识梳理
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
所以所求的椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)
＝2eq \r(10)，
即a＝eq \r(10)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4.))
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
三、椭圆的定义及其应用
例2 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
从而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△F1PF2的面积是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪训练2 设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，
∴
∴△GPF1的面积为8.
1．知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系．
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
答案 A
解析 c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴eq \f(2,k)>2，故04．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
答案 C
解析 设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2eq \r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq \r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq \r(3).
课时对点练
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案 AC
解析 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．
2．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1 D．以上都不对
答案 A
解析 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A＋16B＝1，,\f(16,25)A＋9B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝\f(1,25).))
所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
3．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4．“2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))解得2所以“25．设P为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A．4 B．6 C．9 D．12
答案 C
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤eq \f(|PF1|＋|PF2|2,4)＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
6．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析 由已知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，
所以a＝4，c＝eq \r(15)，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
8．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
答案 12
解析 如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
故有|GF1|＝eq \f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq \f(1,2)|BN|，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和eq \f(2\r(5),3)，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝eq \f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq \f(2\r(5),3)，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，
即a＝eq \r(5).
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq \f(60,9)，
∴c2＝eq \f(5,3)，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(10,3).
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1.
10．已知椭圆M与椭圆N：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(5),5))).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解 (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－eq \f(16,5)(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，
解得y0＝±eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，x0＝±eq \f(\r(15),2)，
所以点P有4个，它们的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).
11．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴eq \f(32,12)＋eq \f(y2,3)＝1，即y2＝eq \f(3,4)，∴y＝±eq \f(\r(3),2).
∴点M的纵坐标为±eq \f(\r(3),4).
12．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
答案 C
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
13．若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0,2)，则实数t＝________.
答案 －1
解析 椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,－\f(6,t))＝1，
因为其一个焦点为F(0,2)，
所以a2＝－eq \f(6,t)，b2＝2，
所以－eq \f(6,t)－2＝4，解得t＝－1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝eq \f(2a,4c)＝eq \f(5,6).
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝eq \f(3,2)|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由eq \(AF2,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(F2B,\s\up6(—→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，±\f(2,3)b))，又点B在椭圆上，
故eq \f(\f(25,9),a2)＋eq \f(\f(4,9)b2,b2)＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
16．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2eq \r(3)，
∴曲线C的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得eq \r(x－22＋y2)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y2＝9，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,－4≤x≤4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
3．1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程．
导语
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
一、椭圆的定义
问题1 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示 椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
知识梳理
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
(2)定值必须大于两定点的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的标准方程
问题2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．
根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝eq \r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq \r(x－c2＋y2)，
所以eq \r(x＋c2＋y2)＋eq \r(x－c2＋y2)＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得eq \r(x＋c2＋y2)＝2a－eq \r(x－c2＋y2).②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2 －4aeq \r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝aeq \r(x－c2＋y2)，③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－c2)＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a>2c>0 ，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
令b＝eq \r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．
问题3 如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示 eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
知识梳理
注意点：
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1.))
所以所求的椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2))2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2)
＝2eq \r(10)，
即a＝eq \r(10)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,10)＋eq \f(x2,6)＝1.
(3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝5，,n＝4.))
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1.
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
解 (1)方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝4.))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＝8，,a2＝4.))
则a2
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))
所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(eq \r(3)，－eq \r(5))在椭圆上，所以eq \f(－\r(5)2,a2)＋eq \f(\r(3)2,b2)＝1，
即eq \f(5,a2)＋eq \f(3,b2)＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,4)＝1.
三、椭圆的定义及其应用
例2 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究 若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
从而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△F1PF2的面积是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪训练2 设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，
∴
∴△GPF1的面积为8.
1．知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系．
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
答案 D
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
答案 A
解析 c＝1，由点P(2,0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案 D
解析 ∵方程x2＋ky2＝2，即eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴eq \f(2,k)>2，故0
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
答案 C
解析 设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2eq \r(3)，|CA|＋|CF|＝2eq \r(3)，便可求得△ABC的周长为4eq \r(3).
课时对点练
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
答案 AC
解析 当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．
2．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1 B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1 D．以上都不对
答案 A
解析 设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)A＋16B＝1，,\f(16,25)A＋9B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝1，,B＝\f(1,25).))
所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
3．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4．“2
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))解得2
A．4 B．6 C．9 D．12
答案 C
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|PF1|·|PF2|≤eq \f(|PF1|＋|PF2|2,4)＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
6．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
答案 A
解析 由椭圆的定义得
|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(7)，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝eq \f(40－28,2×12)＝eq \f(1,2)，
∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
7．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,16)＋x2＝1
解析 由已知2a＝8,2c＝2eq \r(15)，
所以a＝4，c＝eq \r(15)，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋x2＝1.
8．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
答案 12
解析 如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
故有|GF1|＝eq \f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq \f(1,2)|BN|，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和eq \f(2\r(5),3)，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝eq \f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq \f(2\r(5),3)，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(5)，
即a＝eq \r(5).
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq \f(60,9)，
∴c2＝eq \f(5,3)，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(10,3).
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1.
10．已知椭圆M与椭圆N：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(5),5))).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解 (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－eq \f(16,5)(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，
解得y0＝±eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，x0＝±eq \f(\r(15),2)，
所以点P有4个，它们的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).
11．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
答案 D
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，∴eq \f(32,12)＋eq \f(y2,3)＝1，即y2＝eq \f(3,4)，∴y＝±eq \f(\r(3),2).
∴点M的纵坐标为±eq \f(\r(3),4).
12．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
答案 C
解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12.
13．若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0,2)，则实数t＝________.
答案 －1
解析 椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,－\f(6,t))＝1，
因为其一个焦点为F(0,2)，
所以a2＝－eq \f(6,t)，b2＝2，
所以－eq \f(6,t)－2＝4，解得t＝－1.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理可知eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝eq \f(|BC|＋|BA|,2|AC|)＝eq \f(2a,4c)＝eq \f(5,6).
15．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝eq \f(3,2)|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则椭圆C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
解析 设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝6m，
所以|AF1|＝6m－3m＝3m，
所以|AF1|＝|AF2|，
故点A为椭圆的上(下)顶点，设A(0，±b)，
由eq \(AF2,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(F2B,\s\up6(—→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，±\f(2,3)b))，又点B在椭圆上，
故eq \f(\f(25,9),a2)＋eq \f(\f(4,9)b2,b2)＝1，
解得a2＝5，又由c＝1，可得b＝2，
故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
16．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2eq \r(3)，
∴曲线C的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得eq \r(x－22＋y2)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y2＝9，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,－4≤x≤4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
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