人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀学案

3.1.2　椭圆方程及性质的应用

【学习目标】

1．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系及其研究方法，并能利用相关性质解决一些简单的综合问题．

2．通过本节课的学习，进一步全面理解椭圆的几何性质，培养综合利用知识灵活解决问题的能力．

【学习过程】

一、课前预习

预习课本P113～114，思考并完成以下问题

1．点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？

2．直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？

二、课前小测

1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　)

A．点(－2,3)在椭圆外

B．点(3,2)在椭圆上

C．点(－2，－3)在椭圆内

D．点(2，－3)在椭圆上

2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)

A. B．

C. D.

3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．

三、新知探究

1．点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：

联立消y得一元二次方程．

当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；

当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．

3．直线与椭圆相交的弦长公式

(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

(2)求弦长的方法

①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

②根与系数的关系法：

如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：

|AB|＝·＝ ·.

四、题型突破

题型一　直线与椭圆的位置关系

[例1] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．

反思感悟

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．　

跟踪训练

1. 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．

题型二　弦长及中点弦问题

[例2] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．

(1)求直线l的方程；

(2)求直线l被椭圆截得的弦长．

反思感悟

解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，

则

由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，

即kAB＝－.

跟踪训练

2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

题型三　与椭圆有关的综合问题

[例3] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

反思感悟

求与椭圆有关的最值、范围问题的方法

(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．

(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．

(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．

跟踪训练

3.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.

(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

五、达标检测

1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|的值．

3．设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．

(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．

六、本课小结

1. 直线与椭圆位置关系的判断方法

2. 直线与椭圆相交时弦长的两种求法

方法一：→

方法二：条件：直线l：y＝kx＋m，椭圆：＋＝1(a>b>0)．

提醒：有时为了方便，也可联立方程组消去x，利用公式|AB|＝|y2－y1|＝求解．

参考答案

课前小测

1．答案：D

2．答案：C

3．答案：4

题型突破

[例1] [解]　由消去y，

得＋(x＋m)2＝1，

整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.

Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．

当－<m<时，Δ>0，直线与椭圆相交；

当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；

当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．

跟踪训练

1. 解：∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．

由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上，

∴＋≤1，∴m≥1.

又椭圆焦点在x轴上∴m<5，

故m的取值范围为[1,5).

题型二　长及中点弦问题

[例2] [解]　(1)[法一　根与系数关系法]

由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，

而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.

将直线方程代入椭圆方程有

(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.

所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－.

所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，

即x＋2y－8＝0.

[法二　点差法]

设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，

即k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.

(2)由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.

法一：解方程得

所以直线l被椭圆截得的弦长为＝.

法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.

所以直线l被椭圆截得的弦长为＝.

跟踪训练

2. 解：(1)由题意有＝，＋＝1，

解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.

(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

即kOM·k＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，

则

①－②得＋＝0，

∴kAB＝＝－＝－·.

又kO M＝，∴kAB·kOM＝－.

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

[例3]　[解]

(1) 由题意得∴

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，

联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，

∴

∴|AB|＝|x1－x2|＝ ，

原点到直线的距离d＝.

∴S△OAB＝× ·

＝ ≤·＝.

当且仅当m＝±时，等号成立，

∴△AOB面积的最大值为.

跟踪训练

3. 解：

(1)由题意得2a＝4，得a＝2，

又点P在椭圆＋＝1上，

∴＋＝1，解得b2＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1，

焦点F1(－，0)，F2(，0)．

(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：y＝kx＋2，

代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，

Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＝16(4k2－3)>0，得k2>.①

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵∠AOB为锐角，∴cos ∠AOB>0，

则·＝x1x2＋y1y2>0，

又y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)

＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，

∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4

＝(1＋k2)·＋2k·＋4＝>0，

∴k2<4.②

由①②得<k2<4.

解得－2<k<－或<k<2，

∴k的取值范围是∪.

达标检测

1．答案：D

解析：解法一：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，故选D.

解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

①－②，得

b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，

∴＝.

∵kAB＝，

∴＝＝，

∴a2＝2b2.

∵c＝3，b2＋c2＝a2，

∴b＝c＝3.故选D.

2．解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.

设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2 ＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，

其方程为＋＝1(x≠－2)．

(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，

由l与圆M相切得＝1，解得k＝±，

当k＝时，y＝x＋，代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.

所以|AB|＝|x2－x1|＝.

当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝2或|AB|＝.

3．解：

(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.

故椭圆E的方程为＋＝1.

(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.

由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，

直线F2P的斜率kF2P＝.

故直线F2P的方程为y＝(x－c)．

当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.

因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.

由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.

化简得y＝x－(2a2－1)．①

将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．