人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆习题

第三章圆锥曲线的方程

3.1　椭圆

3.1.1　椭圆及其标准方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)

A.(4,10) B.(7,10) 

C.(4,7) D.(4,+∞)

解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.

答案B

2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析(方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.

(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),

则解得故选D.

答案D

3.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P,-4和Q-,3,则此椭圆的标准方程是(　　)

A.+x2=1 B.+y2=1

C.+y2=1或+x2=1 D.以上都不对

解析设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得

∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.

答案A

4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为(　　)

A.10 B.12 

C.16 D.20

解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,

由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B的周长=4a=20.故选D.

答案D

5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可以是(　　)

A.12 B.10

C.6 D.4

解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,

当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;

当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.

故m=4或12.

答案AD

6.一个椭圆的焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,

∴a=2c.设椭圆方程为=1(a>b>0),则解得a=2,c=,b2=6.

故椭圆的方程为=1.

答案A

7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为　　　　　. 

解析椭圆=1的焦点为(0,±4),

设椭圆方程为=1(a>b>0),

则有a2-b2=16, ①

再代入点(,-),得

=1, ②

由①②解得a2=20,b2=4.

则所求椭圆方程为=1.

答案=1

8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是　　　　　.(填轨迹的名称) 

解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,

设椭圆方程为=1(其中a>b>0).

连接MO(图略),当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),

当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),

所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.

答案椭圆

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);

(2)经过两点(2,-),.

解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).

由椭圆的定义知2a==12,

所以a=6.

又c=2,所以b==4.

所以椭圆的标准方程为=1.

(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设其标准方程为=1(a>b>0).

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,

设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为=1.

同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.

综上,所求椭圆的标准方程为=1.

(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).

将两点(2,-),代入,

得解得

所以所求椭圆的标准方程为=1.

关键能力提升练

10.F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是(　　)

A.9- B.6- C.3+ D.6+

解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2.

∵|PF1|+|PF2|=2a=6,

∴|PF1|=6-|PF2|,

∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|

=6+(|PA|-|PF2|).

根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.

答案B

11.若点F为椭圆=1的左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(　　)

A.2 B.3 C.6 D.8

解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),

设=3,

=x0(x0+1)++x0+

=+x0+3(x0+2)2+2,

而x0∈(-2,2),所以当x0=2时,取得最大值为6.

答案C

12.(2020辽宁凌源联合校高二上期中)已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为(　　)

A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)

C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)

解析依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.

又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为=1(y≠0).故选A.

答案A

13.

如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1

B.=1

C.=1

D.=1

解析由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,

∠OF'P=∠OPF',

∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',

∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',

在Rt△PFF'中,由勾股定理,

得|PF'|==8,

由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,

从而a=7,a2=49,

于是b2=a2-c2=49-52=24,

∴椭圆C的方程为=1.

答案C

14.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为(　　)

A.=1 B.=1 

C.=1 D.=1

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),

∵A,B在椭圆上,

∴

①-②,得

=0,

即=-.

∵AB的中点为(1,-1),

∴y1+y2=-2,x1+x2=2.

而=kAB=,

∴.又a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.

∴椭圆E的方程为=1.故选D.

答案D

15.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),则下列说法正确的是(　　)

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

答案AC

16.(多选题)已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面四个结论正确的是(　　)

A.|MF2|的最大值大于3

B.|MF1|·|MF2|的最大值为4

C.∠F1MF2最大为60°

D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1

解析由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,

因此F1(-1,0),F2(1,0).

对于A,|MF2|max=a+c=3,故A错误;

对于B,|MF1|·|MF2|≤2=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时,等号成立,故B正确;

对于C,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2最大,取M(0,),则tan,∴=30°,

∴∠F1MF2最大为60°,故C正确;

对于D,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),

∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,

∴|x2-|=2,即x2=+2或x2=-2,

又由题意知=1,

∴=1或=1,化简得=1或=1,故D正确.故选BCD.

答案BCD

17.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　. 

解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.

在△PF1F2中,

cos∠F1PF2==-.故∠F1PF2=120°.

答案2　120°

18.(2020山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　　. 

解析由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,

|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1||PF2|=9,

∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,

∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.

答案3

19.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,.

(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;

(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.

解(1)如图,设动圆C的半径为R.

由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R, ①

|CC2|=2+R, ②

①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为=1(x<2).

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=x1,y1-,=x2,y2-.由=5可得,x1,y1-=5x2,y2-,所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得

解得

所以x1=0,y1=-3.

所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.

学科素养创新练

20.(2020河南郑州一中月考)已知椭圆=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,2),当△APF的周长最大时,△APF的面积为(　　)

A. B. 

C. D.

解析由椭圆方程=1,得a=3,b=,c==2.设椭圆的左焦点为F',

则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,

当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时,等号成立.∵A(0,2),F'(-2,0),∴直线AF'的方程为=1,即x-y+2=0.

由得32y2-20y-75=0.

∴点P的纵坐标为-.

∴当△APF的周长最大时,该三角形的面积为

|FF'|·|yA-yP|=2×.

答案D

21.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,

∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).

设G(x',y'),A(x,y),则有=1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为=1,

即=1(x≠±30).