高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆第1课时精练

二十一　椭圆的简单几何性质

(15分钟　30分)

1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．长轴长为       B．焦距为

 C．短轴长为      D．离心率为

【解析】选D.椭圆C：16x2＋4y2＝1，

化为标准形式为＋＝1，

可得a＝，b＝，

则c＝＝，

可得离心率为e＝＝＝.

2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选B.因为a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，所以m＝.

3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选C.如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|⇒2＝2c⇒e＝＝.

【补偿训练】

 某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选B.如图(示意图)：

F为月球的球心，月球半径约为×3 476＝1 738(km).

依题意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝

400＋1 738＝2 138.

所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.

由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，

所以椭圆的离心率e＝＝≈.

4．(2020·盘锦高二检测)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x－)2＋y2＝(其中c为椭圆的半焦距)相切于点Q，且＝2，则椭圆C的离心率等于(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选A.如图所示，设椭圆的左焦点为F1，连接PF1，

设圆心为C，则圆心坐标为，半径为r＝，

所以|F1F|＝3|FC|，因为PQ＝2QF，

所以PF1∥QC，|PF1|＝b，

所以|PF|＝2a－b，因为线段PF与圆相切于点Q，

所以CQ⊥PF，所以PF1⊥PF，

所以b2＋(2a－b)2＝4c2，

所以b2＋(2a－b)2＝4，

所以a＝b，则＝，

所以e＝＝＝.

5．椭圆C：＋y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M为其上的动点，当∠F1MF2为钝角时，求点M的纵坐标的取值范围．

【解析】设M(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0).

因为∠F1MF2为钝角，

所以cos ∠F1MF2＝<0，

即|MF1|2＋|MF2|2<|F1F2|2⇒(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2<12.

整理得x2＋y2<3.因为点M在椭圆＋y2＝1上，将x2＝4－4y2代入x2＋y2＜3，解得y>或y<－.

又因为－1≤y≤1，所以点M的纵坐标y的取值范围为∪.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2020·嘉兴高二检测)已知椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则其焦距为

 (　　)

A．      B．2      C．      D．2

【解析】选B.根据题意得e＝＝＝＝，解得a2＝4，因此c＝＝，

所以焦距为2.

2．方程＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)与方程＋＝1表示的椭圆，那么它们(　　)

A．有相同的离心率        B．有共同的焦点

C．有等长的短轴、长轴       D．有相同的顶点

【解析】选A.对于椭圆＋＝1(a>b>0，k>0且k≠1)，a′＝＝a，b′＝＝b，c′＝＝，则椭圆＋＝1的离心率为e′＝＝＝，焦点坐标为

(±，0)，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和；对于椭圆＋＝1，离心率为e＝＝，焦点坐标为，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和.因此，两椭圆有相同的离心率．

3．已知椭圆C：＋＝1的右顶点是圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋y2＝1       B．＋y2＝1

C．＋y2＝1       D．＋＝1

【解析】选A.由圆的方程知圆心为，

所以a＝2，又椭圆的离心率为e＝＝，

所以c＝，b＝＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

4．(2020·盘锦高二检测)若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和右焦点，P为椭圆上任意一点，则·的最小值为(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选C.设点P的坐标为，则y2＝1－，且有－≤x≤，F，＝，·＝x2－x＋y2＝x2－x＋1－x2＝x2－x＋1＝2＋，因为－≤x≤，所以当x＝1时，·取得最小值.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1上存在点P，使得PF1＝3PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(　　)

A．      B．      C．3－6      D．

【解析】选BD.设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义可得，解得PF1＝，PF2＝，由题意可得，解得≥，又0<<1，

所以≤<1，所以，该椭圆离心率的取值范围是.

6．(2020·济南高二检测)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　)

A．卫星向径的取值范围是

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

【解析】选ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，B正确；＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.

【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，

所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，

解得e＝＝.

答案：

8．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B，满足，且⊥，则椭圆的离心率为______．

【解析】由题意，根据，可知点B的坐标为(－3c，0)，

因为A(0，b)，F2(c，0)，

所以＝(－3c，－b)，＝(c，－b)，

所以·＝－3c2＋b2＝－3c2＋a2－c2＝a2－4c2＝0，解得＝，即e＝＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围．

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

【解析】(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，

4c2＝m2＋n2－2mn cos 60°＝(m＋n)2－3mn

＝4a2－3mn≥4a2－3·

＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号).

所以≥，即e≥.又0<e<1，

所以e的取值范围是.

(2)由(1)知mn＝b2，

所以S△PF1F2＝mn sin 60°＝b2，

即△PF1F2的面积只与短轴长有关．

10．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.

(1)求椭圆C的方程．

(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

【解析】(1)由题意知解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设P(x0，y0)，且＋＝1，

所以2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋

12＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.

所以2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，2最小，

所以4m≥4，所以m≥1.

又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.

【创新迁移】

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根x1，x2，则点P(x1，x2)(　　)

A．必在圆x2＋y2＝2内      B．必在圆x2＋y2＝2上

C．必在圆x2＋y2＝2外      D．以上三种情况都有可能

【解析】选A.因为x1，x2是方程ax2＋bx－c＝0的两个实根，

所以x1＋x2＝－，x1·x2＝－＝－.

所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1，

因为a>b，所以<1，所以＋1<2，

故点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．

2．已知定点A(a，0)，其中0＜a＜3，它到椭圆＋＝1上的点的距离的最小值为1，求a的值．

【解析】设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，

则|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)

＝＋4－a2，

当0＜a≤时，有0＜a≤3.

所以当x＝a时，(|PA|2)min＝4－a2＝1，

解得a＝＞(舍)；

当＜a＜3时，有3＜a＜，

当且仅当x＝3时，(|PA|2)min＝a2－6a＋9＝1，

解得a＝2或a＝4(舍)，

综上可得a＝2.