高中数学3.1 椭圆课堂检测

课后素养落实(二十三)　椭圆及其标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)

A．(±5,0)　 B．(0，±5)

C．(0，±12) D．(±12,0)

C　[由标准方程知，椭圆的焦点在y轴上，且c2＝169－25＝144，∴c＝±12，

故焦点为(0，±12)．]

2．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

B　[若方程＋＝1表示椭圆，则解得2<m<6且m≠4，所以“2<m<6”是方程“＋＝1为椭圆”的必要不充分条件．]

3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1

B　[∵2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.

∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.

∴b2＝a2－c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.]

4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)

A．5　　　　B．4       C．3　　　　D．1

B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B．]

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)

A．圆 B．椭圆

C．线段 D．直线

B　[设椭圆的右焦点为F2，

由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，

又|MF1|＋|MF2|＝2a，

所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，

故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆．]

二、填空题

6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为________．

＋＝1　[由题意可得解得

故椭圆的方程为＋＝1.]

7．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．

4　[设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，

又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，

又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.]

8．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．

　[如图，由＋＝1，

知a2＝9，b2＝7，c2＝2.

所以a＝3，b＝，c＝.

所以|F1F2|＝2.

设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.

因为∠AF1F2＝45°，

所以(6－x)2＝x2＋8－4x·.所以x＝.

所以S△AF1F2＝×2××＝.]

三、解答题

9．已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．

[解]　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，

设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，又椭圆M过点，

则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，

故b2＝1或b2＝－(舍)，a2＝5，

故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，

设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，

得y0＝±.

又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，

所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.

10．设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．

[解]　设点M的坐标是(x，y)，P的坐标是(xP，yP)，

因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，

所以xP＝x，且yP＝y.

因为P在圆x2＋y2＝25上，

所以x2＋＝25，整理得＋＝1，即点M的轨迹C的方程是＋＝1.

1．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)

A．60°　　　　B．30°　　　　C．120°　　　　D．150°

A　[由椭圆的定义得

|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，

∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，

∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，

在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，

∵0°<∠F1PF2<180°，

∴∠F1PF2＝60°.]

2．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)

A．± B．± 

C．± D．±

D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，

∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，

∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.

∴点M的纵坐标为±.]

3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5 B．7 

C．13 D．15

B　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]

4．已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.则椭圆的标准方程是________，sin∠PF1F2＝________.

＋＝1　　[因为·＝0，

所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，

所以F1(－10,0)，F2(10,0)，

所以2a＝|PF1|＋|PF2|

＝＋＝12，

所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.

如图所示，

过点P作PM⊥x轴，垂足为M，

则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，

所以|PF1|＝＝＝8，

所以sin∠PF1F2＝＝＝.]

设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值．

(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值．

(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

[解]　(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，

所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，

又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由＝λ得x0＝，y0＝－.

又＋y＝1，所以＋＝1，

化简得λ2＋6λ－7＝0，

解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，

所以λ＝－7.

(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.