高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案

第三章　圆锥曲线的方程

3.1　椭圆

3.1.1　椭圆及其标准方程

基础过关练

题组一　椭圆的定义及其应用

1.(2022广东广州期末)已知△ABC的周长为14,顶点B,C的坐标分别为(0,3),(0,-3),则点A的轨迹为              (　　)

A.线段　　　　B.直线(除去两点)

C.圆(除去两点)　　　　D.椭圆(除去两点)

2.(2022北京通州月考)设椭圆+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,且点P的坐标为,则|PF1|+|PF2|=              (　　)

A.1　　　　B.

C.2　　　　D.2

3.(2022河南郑州四校联考)已知椭圆=1的两个焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于M,N两点,则△F1MN的周长为              (　　)

A.2　　B.4　　C.6　　D.8

4.(2022宁夏银川一中期中)设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于(　　)

A.5　　　　B.4

C.3　　　　D.1

5.(2022湖北仙桃中学、天门中学月考)若椭圆+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2,B为AF1的中点,O是坐标原点,则|OB|=              (　　)

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

题组二　椭圆的标准方程

6.(2022江苏南京二十七中开学考试)已知圆C的方程为(x-1)2+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点,则点P的轨迹方程为              (　　)

A.=1

C.=1

7.已知直线x+2y+4=0与椭圆=1(a>b>0),若椭圆过直线与坐标轴的交点,则椭圆的方程为              (　　)

A.=1

C.=1

8.(2022重庆巴蜀中学开学考试)某椭圆过点P,则此椭圆的标准方程是　(　　)

A.+y2=1

C.+x2=1　　　　D.以上都不对

9.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是              (　　)

A.=1

C.=1

10.(2022安徽六安一中开学考试)一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　　　. 

11.(2022山西长治上党一中月考)已知P是圆O:x2+y2=4上一动点,P点在x轴上的射影是D点,点M满足.求动点M的轨迹方程.

题组三　椭圆标准方程的应用

12.(2022宁夏海原一中期中)椭圆=1的焦点坐标为 (　　)

A.(-,0),(,0)

B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-),(0,)

D.(0,-2),(0,2)

13.(2022四川成都树德中学月考)已知椭圆=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于              (　　)

A.4　　B.5　　C.7　　D.8

14.设P=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为　　　　. 

15.(2022河南南阳月考)已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.

能力提升练

题组一　椭圆的定义及其应用

1.(2022河北邯郸八校联盟期中)如图,椭圆C:=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个等分点作x轴的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=              (　　)

A.20　　B.15　　C.36　　D.30

2.(2022四川内江期末,)已知P是椭圆=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若,则△F1PF2的面积为              (　　)

A.3　　D.9

3.(2022广东深圳期末)如图,F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上的点,直线PT为△F1PF2的外角平分线所在直线,F2T⊥PT,则|OT|=              (　　)

A.1　　B.2　　C.　　D.4

4.(2022重庆第七中学校期中)已知A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,点P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为              (　　)

A.6+,6-,4-

C.6+2,6-2,4-2

题组二　椭圆的标准方程及其应用

5.(2022江苏南京二十九中开学考试)已知椭圆=1,△ABC的顶点B,C是椭圆的两个焦点,顶点A在椭圆上,则的值为　              (　　)

A.　　D.9

6.(2022辽宁鞍山模拟)在平面直角坐标系Oxy中,点B与点A关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.

(1)求动点P的轨迹方程,并注明x的范围;

(2)设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M,N,问是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析

第三章　圆锥曲线的方程

3.1　椭圆

3.1.1　椭圆及其标准方程

基础过关练

1.D　由已知可得|BC|=6,|AB|+|AC|=14-|BC|=8>|BC|,且A,B,C三点不共线,故点A的轨迹是以B,C为焦点,且除去(0,3)及(0,-3)两点的椭圆.故选D.

2.D　易得点P在椭圆上,a=,∴|PF1|+|PF2|=2a=2.故选D.

3.D　由椭圆方程知a=2.因为M,N是椭圆上的两点,F1,F2是椭圆的两个焦点,

所以|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,

因此△F1MN的周长为|MF1|+|MN|+|NF1|=|MF1|+|MF2|+|NF2|+|NF1|=2a+2a=4a=8,故选D.

4.B　由椭圆方程,得a=3,b=2,故c=.

∵|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|∶|PF2|=2∶1,

∴|PF1|=4,|PF2|=2,

又|F1F2|=2c=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为×4×2=4.

5.B　由椭圆方程+y2=1,得a=3.

设椭圆的另一个焦点为F2,连接AF2.

∵|AF1|=2,∴|AF2|=6-2=4,

∵O是F1F2的中点,B是AF1的中点,

∴OB是△AF1F2的中位线,

∴|OB|==2.故选B.

6.C　因为P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点,所以|PA|=|PB|,

所以|PB|+|PC|=|PA|+|PC|=|AC|=4,而|BC|=2,

所以P点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,设其方程为=1(a>b>0),

则2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,则b=,

所以P点的轨迹方程是=1.故选C.

7.B　易得直线x+2y+4=0交x轴于点(-4,0),交y轴于点(0,-2),依题意知,a=4,b=2,

所以椭圆的方程为=1.

故选B.

8.A　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),

则

∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.

9.C　设|MF1|=m,|MF2|=n,因为MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,|F1F2|=2,所以m2+n2=20,mn=8,所以(m+n)2=m2+n2+2mn=36,所以m+n=6,即2a=6,所以a=3.因为c=,所以b==1.故选C.

10.答案　=1

解析　圆B的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=36,其圆心为B(-2,0),半径R=6.

设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,

由题意可知,|MB|=R-r,又r=|MA|,所以|MB|=R-|MA|,故|MB|+|MA|=6>|AB|=4.由椭圆的定义知,M的轨迹是以B(-2,0),A(2,0)为焦点的椭圆.设椭圆的方程为=1(a>b>0),则a=3,c=2,b=,所以动圆圆心M的轨迹方程是=1.

11.解析　设P(x0,y0),M(x,y),则D(x0,0).

因为,

所以(x-x0,y)=(0,y0),从而x0=x,y0=2y,

又点P在圆O上,所以=4,即x2+4y2=4,

即+y2=1,故动点M的轨迹方程是+y2=1.

12.D　椭圆=1的焦点在y轴上,且a=3,b=,所以c=2,所以椭圆的焦点坐标为(0,±2).

13.D　依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得6<m<10.由焦距为4,得c=2.由c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.

14.答案　60°

解析　∵P在椭圆上,∴=1,∴a2=16,∴椭圆方程为=1,∴2a=8,c2=a2-b2=7,设|PF1|=m,|PF2|=n,

由题可得

解得cos∠F1PF2=,∴∠F1PF2=60°.

15.解析　(1)由题意知椭圆N的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).

设椭圆M的标准方程为=1(a>b>0),

则化简并整理得5b4+11b2-16=0,

解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=5,

故椭圆M的标准方程为+y2=1.

(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),

设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,所以y0=±=1,所以,解得x0=±.所以满足条件的点P有4个,坐标分别为,-,-.

能力提升练

1.D　由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称.

设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,P2F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P4F|=2a,|P3F|=a,

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.

故选D.

2.A　因为=cos∠F1PF2=,所以∠F1PF2=.

由题知a=5,b=3,c==4,

记|PF1|=m,|PF2|=n,则

由①②可得mn=12,

所以×12×.故选A.

3.B　延长F2T,交F1P的延长线于点M,如图所示,

因为直线PT为∠MPF2的平分线所在直线,F2T⊥PT,

所以△PTF2≌△PTM,所以|PF2|=|PM|,|TF2|=|TM|,

结合椭圆的定义得|MF1|=|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|=4,

又T为F2M的中点,O为F1F2的中点,

所以在△F1F2M中,|OT|=|MF1|=2.故选B.

4.A　由已知可得椭圆方程为=1,所以a=3,c=2.

设F2为椭圆的右焦点,则F2(2,0).连接PF2,AF2,

则|AF2|=.

根据椭圆的定义得|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|.

根据三角形的任意两边之差小于第三边,有||PA|-|PF2||<|AF2|=.当P,A,F2三点共线时, ||PA|-|PF2||=|AF2|=.∴-≤|PA|-|PF2|≤.∴2a-≤|PA|+|PF1|≤2a+,即6-≤|PA|+|PF1|≤6+.∴|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为 6+,6-.故选A.

5.D　由题意可知,a=5,b=3,所以c=4,因为△ABC的顶点B,C是椭圆的两个焦点,顶点A在椭圆上,所以|AB|+|AC|=2a=10,|BC|=2c=8,所以在△ABC中,由正弦定理可得=9.故选D.

6.解析　(1)因为点B与点A关于原点O对称,所以点B的坐标为,设点P的坐标为(x,y),由题意得直线AP,BP的斜率均存在,故x≠±1,且,整理得=1(x≠±1),故动点P的轨迹方程为=1(x≠±1).

(2)设存在点P(x0,y0)使得△PAB与△PMN的面积相等,则|PA|·|PB|·sin∠APB=|PM|·|PN|·sin∠MPN,因为sin∠APB=sin∠MPN,所以,所以,即(3-x0)2=|-1|,解得x0=,因为点P的坐标满足=1(x≠±1),所以将x0=代入,可得y0=±,故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.