数学选择性必修 第一册3.1 椭圆第2课时同步测试题

二十二　椭圆方程及性质的应用

(15分钟　30分)

1．已知直线l过点(3，－1)和椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)

A．1    B．1或2    C．2    D．0

【解析】选C.因为直线过点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．

2．点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－<a<     B．a<－或a>

C．－2<a<2       D．－1<a<1

【解析】选A.由题意知＋<1，解得－<a<.

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，

由于直线AB的方程为ay＋bx－ab＝0，

所以＝c，

因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2(舍)，所以e＝.

4．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)

A．－    B．－    C．－    D．－

【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，

则B(－x1，－y1)，

kAM·kBM＝·＝

＝＝－.

5．已知椭圆C的焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．

【解析】由已知条件得椭圆焦点在x轴上，

其中c＝2，a＝3，从而b＝1，其标准方程为＋y2＝1，

联立方程，消去y得10x2＋36x＋27＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，

中点坐标为(x0，y0)，x0＝＝－，

所以y0＝x0＋2＝，

所以线段AB的中点坐标为.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)

A．2    B．2    C．8    D．2

【解析】选B.根据已知条件c＝，

则点M在椭圆＋＝1(m>0)上，所以＋＝1，可得m＝2.

2．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝(　　)

A．    B．    C．    D．4

【解析】选A.由椭圆＋y2＝1，得a2＝4，b2＝1，

所以c＝＝，

不妨设P在x轴上方，则F1(－，0)，

设P(－，m)(m＞0)，

则＋m2＝1，即m＝.

所以|PF1|＝，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，

得|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.

3．(2020·秦皇岛高二检测)已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选C.设A，B是椭圆C上关于直线l对称的两点，AB的中点为M，

则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，kAB＝－1.

又因为A，B在椭圆C上，

所以x＋＝1，x＋＝1，两式相减可得·＝－2，即y0＝2x0.

又点M在直线l上，故y0＝x0＋m，解得x0＝m，y0＝2m.

因为点M在椭圆C内部，

所以m2＋2m2<1，解得m∈.

4．(2020·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足AF2＝2F2B，|F1B|＝||，则该椭圆的离心率是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.设|BF2|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，

由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＝2a，

所以|AF1|＝|BF1|＋|BF2|－|AF2|＝2m，

因为|AF1|＝|AF2|，所以A为椭圆的上顶点，

设A，又F2，

则直线AF2：y＝－x＋b，将直线AF2的方程代入椭圆方程＋＝1中得x2＝x，解得x＝0或，

因为AF2＝2F2B，所以c＝2，化简得a2＝3c2，

所以e2＝＝⇒e＝.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2020·海南高二检测)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　　)

A．|AF|＋|BF|为定值

B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]

C．当m＝时，△ABF为直角三角形

D．当m＝1时，△ABF的面积为

【解析】选ACD.设椭圆的左焦点为F′，

则|AF′|＝|BF|，

所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，

因为|AF|＋|BF|为定值6，

所以|AB|的范围是(0，6)，

所以△ABF的周长的范围是(6，12)，B错误；

将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，

又因为F(，0)，

所以·＝＋＝0，

所以△ABF为直角三角形，C正确；

将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)

所以S△ABF＝×2×1＝，D正确．

6．(2020·济南高二检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆＋＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若＝6，则斜率k可以取的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选BD.由题可知，该椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx，

设D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，

联立方程得(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝，由＝6，知x0－x1＝6(x2－x0)，x0＝(6x2＋x1)＝x2＝，

由点D在直线AB上，则x0＋2kx0＝2得x0＝，

所以＝，化简，得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．黄金分割比ω＝≈0.618被誉为“人间最巧的比例”．离心率e＝的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P(异于椭圆的左右顶点)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________．

【解析】设P(m，n)，代入椭圆方程，则＋＝1，离心率e＝，可得＝，

整理得：n2＝－(m2－a2)，

又k1＝，k2＝，

所以k1k2＝＝－＝－＝.

答案：

8．(2020·宁波高二检测)若点P(3，1)在椭圆E：＋＝1上，A，B两点也在椭圆上，且直线AP与直线BP关于直线y＝1对称，则直线AB的斜率为________．

【解析】由题意直线AP，BP的斜率均存在，且kAP＝－kBP，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AP：y－1＝k(x－3)，

则，消去y可得(3k2＋1)x2－(18k2－6k)x＋27k2－18k－9＝0，

则x1＋3＝，

即x1＝，

同理直线BP：y－1＝－k(x－3)，x2＝，

所以x1＋x2＝，x1－x2＝，

又y1－y2＝k(x1－3)＋1－[－k(x2－3)＋1]＝k(x1＋x2)－6k＝·k－6k＝，

所以直线AB的斜率kAB＝＝1.

答案：1

【补偿训练】

 A，B是椭圆＋y2＝1上两点，线段AB的中点在直线x＝－上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是________．

【解析】由题意可知，直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

则直线AB与y轴的交点的纵坐标为m，

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程与椭圆方程联立并化简得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)>0，

化简得m2<2k2＋1，即k2>.

由根与系数的关系可得x1＋x2＝－＝－1，

所以4km＝2k2＋1，将等式两边平方得16k2m2＝(2k2＋1)2，所以m2＝＝＋＋≥2＋＝.当且仅当k＝±时，等号成立，由于m2≥，解得m≥或m≤－.因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是∪.

答案：∪

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

代入椭圆方程，得ax＋by＝1，①ax＋by＝1.②

②－①，得a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.

而＝kAB＝－1，＝kOC＝，则b＝a.

又因为|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，

所以|x2－x1|＝2.

又由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝－4·＝4，

将b＝a代入，得a＝，b＝，

所以所求的椭圆方程为＋y2＝1.

10．(2020·渭南高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和.

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．

【解析】(1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为a，短轴端点到直线l1的距离为b，所以a＝，b＝，

解得a＝2，b＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)，联立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，

则Δ＝64t2－16×5(t2－1)＞0，解得－＜t＜且t≠0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因为|＋|＝||，所以OA⊥OB，

即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，

解得t＝±，满足－＜t＜且t≠0，

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝x－.

1．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.

当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．

如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大．a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，

所以则e＝＝.则离心率的取值范围是.

【补偿训练】

 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴的一个端点为P(0，b)，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积为－，则椭圆的离心率为______.

【解析】根据题意可得P(0，b)，设A(x，y)，B(－x，－y)，由直线PA，PB的斜率之积为－，

则kPA·kPB＝＝－，由A在椭圆上可得椭圆＋＝1(a＞b＞0)，得＝－，所以＝，即a＝2b，a2＝4(a2－c2)，可得e＝.

答案：

2．已知曲线Γ：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．

(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2是定值．

(2)设点C满足＝λ(λ＞0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．

【解析】由椭圆方程可得A(－4，0)，B(4，0)，

设P(x0，y0).

(1)k1＝，k2＝，

所以k1·k2＝＝＝－＝－为定值．

(2)因为＝λ，所以A，B，C三点共线，故设C(m，0)(－4＜m＜4)，

则|PC|＝

＝

＝.

若m≥0，则|PC|max＝＝7，解得m＝3.此时＝(7，0)，＝(1，0)，＝

7，由＝λ，得λ＝7；

同理，若m＜0，可得m＝－3，此时求得λ＝.故λ的值为7或.