数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试导学案

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试导学案，共13页。学案主要包含了定义法求轨迹方程，相关点代入法求轨迹方程，直接法求轨迹方程等内容，欢迎下载使用。

导语
生活中我们处处可见轨迹的影子．
例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹．
一、定义法求轨迹方程
问题1 回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？
提示 圆上的点满足到圆心的距离等于半径．椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数．
例1 一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，
即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆．
∴a＝3，c＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(5)，
∴所求圆心的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
反思感悟 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点．
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B＋sin A＝eq \f(5,4)sin C，求点C的轨迹．
解 由sin B＋sin A＝eq \f(5,4)sin C，
可知b＋a＝eq \f(5,4)c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义．
令椭圆方程为eq \f(x2,a′2)＋eq \f(y2,b′2)＝1，
则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3，
则轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点)．
二、相关点代入法求轨迹方程
例2 点B是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设动点M的坐标为(x，y)，B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x0＋2a,2)＝x，,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2a，,y0＝2y，))即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)．
又点B(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上，
∴eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，从而有eq \f(2x－2a2,a2)＋eq \f(2y2,b2)＝1.
整理得动点M的轨迹方程为eq \f(4x－a2,a2)＋eq \f(4y2,b2)＝1.
反思感悟 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)．
(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.
(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程．
(4)化简方程得所求方程．
跟踪训练2 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，则动点M的轨迹方程是( )
A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1
C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9
答案 B
解析 设动点M(x，y)，Q(m，n)，
∵eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MQ,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4＝\f(1,3)m－x，,y＋4＝\f(1,3)n－y，))化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4x＋3，,n＝4y＋3.))
又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，
故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，
即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.
三、直接法求轨迹方程
问题2 直接法求轨迹方程的步骤有哪些？
提示 建系、设点列式、化简检验．
例3 已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－eq \r(3)，0)的距离与它到定直线l：x＝－eq \f(4\r(3),3)的距离之比为常数eq \f(\r(3),2).
(1)求动点M的轨迹Γ的方程；
(2)设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程．
解 (1)设动点M(x，y)，
由已知可得eq \r(x＋\r(3)2＋y2)＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4\r(3),3)))，
即x2＋2eq \r(3)x＋3＋y2＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(8\r(3),3)x＋\f(16,3)))，
化简得eq \f(x2,4)＋y2＝1，
即所求动点M的轨迹Γ的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋\f(1,2),2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y－\f(1,2)，))
由点P在轨迹Γ上，得eq \f(2x－12,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2y－\f(1,2)))2＝1，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,4)))2＝1，
∴线段PA的中点B的轨迹方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,4)))2＝1.
反思感悟 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示．
跟踪训练3 已知平面上两定点M(0，－2)，N(0,2)，P为一动点，满足eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|·|eq \(MN,\s\up6(→))|.求动点P的轨迹C的方程．
解 设P(x，y)．
由已知eq \(MP,\s\up6(→))＝(x，y＋2)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,4)，eq \(PN,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，
得eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝4y＋8，|eq \(PN,\s\up6(→))|·|eq \(MN,\s\up6(→))|＝4eq \r(x2＋y－22)，
∵eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|·|eq \(MN,\s\up6(→))|，
∴4y＋8＝4eq \r(x2＋y－22)，整理得 x2＝8y.
即动点P的轨迹C的方程为x2＝8y.
1．知识清单：
(1)定义法求轨迹方程．
(2)相关点代入法求轨迹方程．
(3)直接法求轨迹方程．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点．
1．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(x≠±3) B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(x≠±2)
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1(x≠±3) D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1(x≠±2)
答案 A
解析 在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，
则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝eq \r(5)，
所以顶点A的轨迹方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(x≠±3)．
2．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→)).当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是____________．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则点D的坐标为(x0，0)，
∵eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),2)eq \(DP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0，,y＝\f(\r(3),2)y0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x，,y0＝\f(2,\r(3))y，))
∵点P在x2＋y2＝4上，
∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
∴x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(3))y))2＝4，
∴点M的轨迹方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．
答案 x＋y－1＝0
解析 由点P满足|PA|＝|PB|，可知点P的轨迹为点A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分线．
∴由中点坐标公式得AB的中点为(3，－2)，kAB＝eq \f(－1＋3,4－2)＝1，
∴其垂直平分线的斜率为－1.
∴点P的轨迹方程是y＋2＝－(x－3)，
即x＋y－1＝0.
4．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))2－eq \(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq \(PA,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))|)≠0.则曲线C的轨迹是________________．
答案 椭圆
解析 由eq \(PA,\s\up6(→))2－eq \(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq \(PA,\s\up6(→))|－|eq \(PB,\s\up6(→))|)≠0，
得|eq \(PA,\s\up6(→))|＋|eq \(PB,\s\up6(→))|＝4，且4>|AB|.
故曲线C的轨迹是椭圆．
课时对点练
1．平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10，则M的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(y2,25)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,16)＝1
答案 B
解析 平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0,3)的距离之和为10＞6，
所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4，
椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1.
2．已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0) B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0) D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
答案 A
解析 ∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
又8＞4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)．
3．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是2eq \r(3)，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,10)＝1
答案 C
解析 依题意有|AP|＝|PF2|，|AF1|＝|AP|＋|PF1|＝|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3)＞|F1F2|＝2，
∴点P的轨迹是以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆．
∵2a＝2eq \r(3)，2c＝2，
∴a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，
故所求点P的轨迹方程是eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
4．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．直线
答案 B
解析 设椭圆的右焦点为F2，
由题意，知|PO|＝eq \f(1,2)|MF2|，|PF1|＝eq \f(1,2)|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆．
5．设A1，A2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的长轴的两个端点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1
答案 C
解析 设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，
∴eq \f(y0,x0＋3)＝eq \f(y,x＋3)，①
∵A2，P2，P共线，
∴eq \f(－y0,x0－3)＝eq \f(y,x－3).②
①×②得eq \f(－y\\al(2,0),x\\al(2,0)－9)＝eq \f(y2,x2－9)，③
∵P1(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上，
∴eq \f(x\\al(2,0),9)＋eq \f(y\\al(2,0),4)＝1，
∴yeq \\al(2,0)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),9)))，
将yeq \\al(2,0)代入③得eq \f(y2,x2－9)＝－eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),9))),x\\al(2,0)－9)＝eq \f(4,9)，
∴P的轨迹方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
6．动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq \f(y2,9)＝1
答案 B
解析 设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，
动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，
∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6，
∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2，
∴该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1，
解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
7．在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－eq \f(3,4).则动点P的轨迹C的方程为__________．
答案 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)
解析 设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
依题意，有eq \f(y,x－2)×eq \f(y,x＋2)＝－eq \f(3,4)，
化简并整理，得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(x≠±2)．
8．若动点P(x，y)到点(1,0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是eq \f(\r(3),3)，则动点P的轨迹方程是________．
答案 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则由题意得eq \f(|x－3|,\r(x－12＋y2))＝eq \r(3)，
整理得2x2＋3y2＝6，即eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以动点P的轨迹方程是eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
9.如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2eq \r(2))，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解 (1)∵kAB＝－eq \r(2)，AB⊥BC，
∴kCB＝eq \f(\r(2),2).
∴边BC所在直线的方程为y＝eq \f(\r(2),2)x－2eq \r(2)，即x－eq \r(2)y－4＝0.
(2)∵边BC所在直线的方程为x－eq \r(2)y－4＝0，
令y＝0，得C(4,0)．
∴圆心M(1,0)．
又∵|AM|＝3，
∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，且圆N过点P(－1,0)，
∴PN是该圆的半径．
又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，
即|MN|＋|PN|＝3>2.
∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝eq \f(3,2)，c＝1，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(\f(5,4))＝eq \f(\r(5),2).
∴圆心N的轨迹方程为eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,5)y2＝1.
10．已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程．
解 (1)依题意，可设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
若点F(2,0)为其右焦点，
则其左焦点为F′(－2,0)，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝2，,a＝4，))
又a2＝b2＋c2，
∴b2＝12，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
∵Q为PF的中点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋2,2)，,y＝\f(y0,2)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－2，,y0＝2y，))
又P是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1上的动点，
∴eq \f(2x－22,16)＋eq \f(4y2,12)＝1，
即Q点的轨迹方程是eq \f(x－12,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
11．已知在△ABC中，点A(－2,0)，点B(2,0)，若tan∠CAB·tan∠CBA＝2，则点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠±2)
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1(x≠±2)
答案 B
解析 设C(x，y)，
则kCA＝eq \f(y,x＋2)，kCB＝eq \f(y,x－2)，
由tan∠CAB·tan∠CBA＝2，
得eq \f(y,x＋2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x－2)))＝2，
即eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1，
当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意．
所以点C的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠±2)．
12．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B.eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D.eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
答案 D
解析 圆心C(－1,0)，半径为5，设点M(x，y)，
∵AQ的垂直平分线交CQ于M，
∴|MA|＝|MQ|，
又|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，
即|MA|＋|MC|>|AC|，
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
∴b＝eq \f(\r(21),2)，
故椭圆方程为eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1.
13．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
答案 A
解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，
可得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0，0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))
因为|AB|＝5，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))2＝25，
即eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
14．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，则动点Q的轨迹方程是________．
答案 eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1
解析 设Q(x，y)，
∵eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，
∵P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上的任意一点，
∴eq \f(\f(x2,4),a2)＋eq \f(\f(y2,4),b2)＝1，
∴eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1.
15.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．一条直线
C．椭圆 D．两条平行直线
答案 C
解析 因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆．
16．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程．
解 圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示，
因为|AD|＝|AC|，
所以∠ACD＝∠ADC.
因为EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)．|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以点E的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)．