选择性必修第三册综合测评

这是一份高中人教B版 (2019)本册综合随堂练习题，共28页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。

全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列1,3,7,15,…的一个通项公式为an=(　　)
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n-1
2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.6
3.已知函数f(x)=32x2-2ex,则limΔx→02f(Δx)-2f(0)Δx=(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-4
4.设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=2an-3,则S6=(　　)
A.192 B.96 C.93 D.189
5.已知函数f(x)=x2+2cos x, f'(x)是f(x)的导函数,则函数f'(x)的图像大致为(　　)

6.若函数f(x)=(ax-1)ex-2的图像在点(2, f(2))处的切线过点(3,3),则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
7.若函数f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,则数列1f(n)(n∈N+)的前n项和Sn=(　　)
A.nn+1 B.n+2n+1
C.nn-1 D.n+1n
8.已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,S3=7.若f(x)=Snx+a2x2+a3x3+…+anxn(n≥2), f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(1)-f'(0)=(　　)
A.(n-1)·2n B.(n-2)·2n
C.2n(n-1) D.2n(n+1)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.如图是函数f(x)的导数的图像,对于下列四个结论,其中正确的是(　　)

A.f(x)在[-2,-1]上是增函数
B.当x=-1时, f(x)取得极小值
C.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数
D.当x=3时, f(x)取得极小值
10.在数列{an}中,若an+2-an+1an+1-an=k(k为常数,n∈N+),则称{an}为“等差比数列”.下列对“等差比数列”的判断正确的是(　　)
A.k不可能为0
B.等差数列一定是等差比数列
C.等比数列一定是等差比数列
D.等差比数列中可以有无数项为0
11.关于函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1有以下判断,其中正确的判断是(　　)
A.函数恒有两个零点且两个零点之积为-1
B.函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1
C.若x=-2是函数的一个极值点,则函数的极小值为-1
D.若x=-2是函数的一个极值点,则函数的极大值为1
12.对于函数f(x)=2sin x-x,x∈[0,π],下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在x=π3处取得极大值3-π3
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(π) D.f(x)在[0,π]上是单调函数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.设f(n)=1-12+13-14+…+12n-1(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+　　　　　　　　.(不用化简) 
14.已知f(x)在R上连续可导, f'(x)为其导函数,且f(x)=ex+2f'(0)·x,则函数f(x)的图像在(0, f(0))处的切线方程为　　　　　. 
15.某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,其总费用(含购买费用)为　　　万元;当n=　　　　时,该渔船年平均费用(含购买费用)最低. 
16.艾萨克·牛顿(1643-1727),英国皇家学会会长,英国著名物理学家,在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出了一个数列{xn}:xn+1=xn-f(xn)f'(xn),我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3,数列{xn}为牛顿数列,an=lgxn-3xn-1,且a1=3,xn>3,则数列{an}的通项公式为an=　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)在①an+12-an2=3(an>0),②an2-anan-1-3an-1-9=0,③Sn=n2-2n+2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上(填序号),并解答.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,　　　　. 
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对大于1的正整数n,是否存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等比数列?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.







18.(12分)设Sn为数列{an}的前n项和,且对于n∈N+,都有Sn=n22+an2成立.
(1)求a1,a2,a3;
(2)猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.










19.(12分)已知f(x)=exe-a(x-1)+ln x-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.设g(x)=f'(x).
(1)求g(x)的单调区间;
(2)若x≥1,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.


















20.(12分)已知等比数列{an}满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4;等差数列{bn}的前n项和Sn=(n+1)log2an2.求:
(1){an},{bn}的通项公式;
(2)数列{anbn}的前n项和Tn.


















21.(12分)设函数f(x)=ax-xa(x>0,a>1).
(1)证明:对任意的x∈(0,+∞),都有ln x (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求f(x)的极值.








22.(12分)冠状病毒是一个大型病毒家族,会引起感冒,中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等.而2019年出现的新型冠状病毒(2019-nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人体感染了新型冠状病毒后的常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.严重时还会导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡.
某医院为筛查新型冠状病毒,需要检验血液是不是阳性,现有n(n∈N+)份血液样本,有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,则需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中k(k∈N+且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性,则这k份的血液全为阴性,那么这k份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液中究竟哪几份为阳性,就要对这k份再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为k+1.
假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0 (1)若E(ξ1)=E(ξ2),试求p关于k的函数关系式p=f(k);
(2)若p与干扰素计量xn相关,其中x1,x2,…,xn(n≥2)是不同的正实数,满足x1=1且对任意的n∈N+(n≥2)都有e-13·∑n-1i=1xn2xixi+1=xn2-x12x22-x12成立.
(i)求证:数列{xn}为等比数列;
(ii)当p=1-13x4时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少,求k的最大值.




答案全解全析
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1.C　a1=21-1=1,a2=22-1=3,a3=23-1=7,a4=24-1=15,故可得an=2n-1.
2.B　在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a4=12(a2+a6)=12(4+a6)=2,解得a6=0,故选B.
3.D　由题意,根据导数的定义可得
limΔx→02f(Δx)-2f(0)Δx=2limΔx→0f(Δx)-f(0)Δx=2f'(0),又由函数f(x)=32x2-2ex,
得f'(x)=3x-2ex,所以f'(0)=3×0-2e0=-2,
所以limΔx→02f(Δx)-2f(0)Δx=2f'(0)=-4,故选D.
4.D　当n=1时,a1=S1=2a1-3,解得a1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-3-(2an-1-3)=2an-2an-1,
∴an=2an-1,
故{an}是首项为3,公比为2的等比数列,∴an=3·2n-1,其前n项和Sn=3×(1-2n)1-2=3×2n-3,∴S6=3×26-3=189.
5.C　易知f'(x)=2x-2sin x=2(x-sin x),f'(x)是奇函数,又[f'(x)]'=2-2cos x≥0,所以f'(x)在R上单调递增.结合选项知选C.
6.A　∵f(x)=(ax-1)ex-2,
∴f(2)=(2a-1)e0=2a-1,
易得f'(x)=aex-2+(ax-1)ex-2=(ax+a-1)ex-2,
设f(x)的图像在点(2, f(2))处的切线的斜率为k切,则k切=f'(2)=(3a-1)e0=3a-1,
又∵切线过点(3,3),
∴k切=3-(2a-1)3-2=4-2a=3a-1,解得a=1,
∴f(x)=(x-1)ex-2, f'(x)=xex-2,
∵ex-2>0,∴当x>0时, f'(x)>0,
∴f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
7.A　已知函数f(x)=xm+ax,则f'(x)=mxm-1+a,
因为f'(x)=2x+1,所以m=2,a=1,则f(x)=x2+x,所以f(n)=n2+n=n(n+1),
所以1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以1f(n)(n∈N+)的前n项和Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.
8.A　设等比数列{an}的公比为q(q>0),
∵a1=1,S3=7,
∴q≠1,且a1=1,S3=1·(1-q3)1-q=7,
∴q=2或q=-3(舍去),
∴an=1×2n-1=2n-1.
∵f(x)=Snx+a2x2+a3x3+…+anxn(n≥2),
∴f'(x)=Sn+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1(n≥2),
∴f'(0)=Sn, f'(1)=Sn+2a2+3a3+…+nan,
∴f'(1)-f'(0)=2a2+3a3+…+nan=2×2+3×22+…+n×2n-1.
令T=2×2+3×22+…+n×2n-1,①
则2T=2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,②
①-②得-T=2×2+(22+23+…+2n-1)-n×2n=4+22(1-2n-2)1-2-n·2n=4+2n-4-n·2n=(1-n)·2n,
∴T=(n-1)·2n,
∴f'(1)-f'(0)=(n-1)·2n.
二、多项选择题
9.BC　根据题中图像知当x∈(-2,-1)和x∈(2,4)时, f'(x)<0,函数单调递减;
当x∈(-1,2)和x∈(4,+∞)时, f'(x)>0,函数单调递增,故A错误,C正确;
当x=-1时, f(x)取得极小值,B正确;
当x=3时, f(x)不能取得极小值,D错误.
故选BC.
10.AD　若k=0,则分子an+2-an+1=0,数列{an}为常数列,则an+1-an=0,分母为0,推出矛盾,所以k不可能为0,故A正确.
数列a,a,…,a(a≠0)既是等差数列,又是等比数列,但不满足an+2-an+1an+1-an=k,即不是等差比数列,故B,C不正确.
对于选项D,只要找到一个满足条件的数列即可,数列0,1,0,1,0,1,…显然为等差比数列,所以D正确.
11.AC　易知ex-1>0,在方程x2+ax-1=0中,Δ=a2+4>0,所以关于x的方程x2+ax-1=0一定有两个不等实根,且两根之积为-1,所以f(x)=(x2+ax-1)ex-1恒有两个零点且两个零点之积为-1,所以A正确;
f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,易知ex-1>0,对于x2+(a+2)x+a-1=0,
Δ=(a+2)2-4(a-1)=a2+8>0,所以x2+(a+2)x+a-1=0恒有两个不等实根,且导函数在这两个实根附近左右异号,两根之积为a-1,函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a-1,不一定为-1,所以B错误;
若x=-2是函数的一个极值点,则f'(-2)=(4-2a-4+a-1)e-3=0,解得a=-1,
所以f(x)=(x2-x-1)ex-1,
f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1,
当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时, f'(x)>0,
当x∈(-2,1)时, f'(x)<0,
所以函数的单调递增区间为(-∞,-2),(1,+∞),单调递减区间为(-2,1),
所以函数的极小值为f(1)=-1,极大值为f(-2)=5e-3,所以C正确,D错误.
12.ABC　由题意得f'(x)=2cos x-1,x∈[0,π].
当x∈0,π3时, f'(x)>0;当x∈π3,π时, f'(x)<0,
∴f(x)在0,π3上单调递增,在π3,π上单调递减,∴f(x)在x=π3处取得极大值f π3=2sinπ3-π3=3-π3,故A正确,D错误;
∵f(π)=-π,∴f π3·f(π)<0,又f(x)在π3,π上单调,∴f(x)在π3,π上必有一个零点.
∵f(0)=0,∴x=0为f(x)的一个零点,又f(x)在0,π3上单调,∴f(x)在0,π3上无零点,
∴f(x)恰有两个不同的零点,故B正确;
∵f π2=2sinπ2-π2=2-π2,f π6=2sinπ6-π6=1-π6,
∴f π2-f π6=2-π2-1+π6=1-π3<0,∴f π2 又f(x)在π3,π上单调递减,∴f(π) ∴f(π) 三、填空题
13.答案　12k+1-12k
解析　∵f(n)=1-12+13-14+…+12n-1(n∈N+),
∴f(k+1)=1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1, f(k)=1-12+13-14+…+12k-1,
∴f(k+1)-f(k)=12k+1-12k,
故答案为12k+1-12k.
14.答案　y=-x+1
解析　由题意,得f'(x)=ex+2f'(0),所以f'(0)=e0+2f'(0)=1+2f'(0),
所以f'(0)=-1,所以f(x)=ex-2x,所以f(0)=1,
故所求切线为y=-x+1.
15.答案　n2+3n+100;10
解析　由题意,得每年的费用(不含购买费用)可以构成首项为4,公差为2的等差数列,记总费用(含购买费用)为S(n),则
S(n)=n×4+n(n-1)2×2+100=n2+3n+100.年平均费用S(n)n=n+100n+3≥2n·100n+3=23,当且仅当n=100n,即n=10时,等号成立,所以当n=10时,该渔船年平均费用(含购买费用)最低.
16.答案　3×2n-1
解析　由函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3,可得f(x)=a(x-1)(x-3)=ax2-4ax+3a,
故f'(x)=2ax-4a.
由题意得
xn+1=xn-a(xn2-4xn+3)a(2xn-4)=xn-xn2-4xn+32xn-4=xn2-32xn-4.
故xn+1-3xn+1-1=xn2-32xn-4-3xn2-32xn-4-1=xn2-6xn+92xn-4xn2-2xn+12xn-4=(xn-3)2(xn-1)2,
故an+1=lgxn+1-3xn+1-1=lg(xn-3)2(xn-1)2=2lgxn-3xn-1=2an,
故数列{an}是以a1=3为首项,2为公比的等比数列,故an=3×2n-1.
四、解答题
17.解析　选择条件①an+12-an2=3(an>0).
(1)∵a12=1,an+12-an2=3,
∴数列{an2}是以1为首项,3为公差的等差数列,
∴an2=1+3(n-1)=3n-2,n∈N+.
∵an>0,
∴an=3n-2,n∈N+.(4分)
(2)存在.假设对大于1的正整数n,存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,
则a1·am=an2,
即am=3n-2,n∈N+,
∵am=3m-2,
∴3m-2=3n-2,
整理,得m=(3n-2)2+23=3n2-4n+2,(6分)
令bn=3n2-4n+2,n>1且n∈N+,
∵bn+1-bn=3(n+1)2-4(n+1)+2-(3n2-4n+2)=6n-1,
当n>1且n∈N+时,6n-1>0,
即bn+1>bn,
∴数列{bn}是递增数列.(8分)
当n=2时,数列{bn}取最小值b2=6.
∴对大于1的正整数n,存在大于2的正整数m,且m的最小值为6.(10分)
选择条件②an2-anan-1-3an-1-9=0.
(1)∵an2-anan-1-3an-1-9=0,
∴(an+3)(an-3)-an-1(an+3)=0,
即(an+3)(an-3-an-1)=0,
∵a1=1,∴an-an-1=3,(3分)
∴{an}是首项为1,公差为3的等差数列,
∴an=1+3×(n-1)=3n-2(n∈N+).(4分)
(2)存在.假设对大于1的正整数n,存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,
则an2=a1·am,即(3n-2)2=3m-2,(6分)
整理得m=3n2-4n+2=3n-232+23,
∵n>1且n为正整数,∴当n=2时,mmin=6,
即存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,且m的最小值为6.(10分)
选择条件③Sn=n2-2n+2.
(1)∵Sn=n2-2n+2,
∴当n>1且n∈N+时,Sn-1=(n-1)2-2(n-1)+2,
∴Sn-Sn-1=an=2n-3(n>1且n∈N+).
∵a1=1≠2×1-3,∴an=1(n=1),2n-3(n>1,n∈N+).(4分)
(2)存在.假设对大于1的正整数n,存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等差数列,则an2=a1·am,
即(2n-3)2=2m-3,(6分)
整理得m=2n2-6n+6=2n-322+32,
∵n>1且n为正整数,∴当n=2时,mmin=2,
此时m>2不成立,故应取n=3,当n=3时,m=6,
即存在大于2的正整数m,使得a1,an,am成等比数列,且m的最小值为6.(10分)
18.解析　(1)S1=122+a12,∴a1=S1=1.
S2=222+a22,即a1+a2=42+a22,∴a2=2.
S3=322+a32,即a1+a2+a3=92+a32,∴a3=3.(4分)
(2)猜想an=n(n∈N+).(5分)
证明:①当n=1时,a1=1,成立.(6分)
②假设n=k(k≥1)时,ak=k成立,
根据已知条件和假设可知,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)22+ak+12-k22-ak2=(k+1)22+ak+12-k22-k2,
解得ak+1=k+1,
即n=k+1时也成立.(10分)
由①②可知,an=n对一切n∈N+都成立.(12分)
19.解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f'(x)=exe+1x-a.(2分)
易得g'(x)=exe-1x2,容易判断g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增.故g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(4分)
(2)由(1)知g(x)在(1,+∞)上单调递增,即f'(x)在(1,+∞)上单调递增,
则当x≥1时,g(x)≥g(1)=2-a,即f'(x)≥2-a,
∴当a≤2时, f'(x)≥0, f(x)在[1,+∞)上单调递增, f(x)≥f(1)=0,符合题意;(6分)
当a>2时,
∵f'(1)=2-a<0, f'(1+ln a)=1lna+1>0,
∴存在x0∈(1,1+ln a), f'(x0)=0,
则x∈(1,x0)时, f'(x)<0,此时f(x)≤f(1)=0,不符合题意,舍去.(10分)
综上,若x≥1, f(x)≥0恒成立,则a≤2.(12分)
20.解析　(1)设{an}的公比为q,{bn}的公差为d.
因为a1,a2,a3-a1成等差数列,
所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3,
容易知道{an}的各项均不为0,所以q=a3a2=2.(2分)
又因为a1a3=a4,所以a1=a4a3=q=2.
因此an=a1qn-1=2n.(4分)
由题意得,Sn=(n+1)log2an2=(n+1)n2,
所以b1=S1=1,
b1+b2=S2=3,从而b2=2.
所以{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1.
所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.(6分)
(2)令cn=anbn,则cn=n·2n.(8分)
因此Tn=c1+c2+…+cn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2-2n×21-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1
=(1-n)·2n+1-2.(11分)
所以Tn=(n-1)·2n+1+2.(12分)
21.解析　(1)证明:令h(x)=ln x-x(x>0),
则h'(x)=1x-12x=2-x2x.(1分)
因为当x∈(0,4)时,h'(x)>0,当x∈(4,+∞)时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,
所以h(x)的最大值为h(4)=ln 4-2=2(ln 2-1)<0,即h(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
所以对任意的x∈(0,+∞),都有ln x (2)令f(x)=0得ax=xa,则xln a=aln x,所以lnaa=lnxx,
所以f(x)的零点个数等于方程lnxx=lnaa的解的个数,(6分)
令g(x)=lnxx(x>0),则g'(x)=1-lnxx2,且g(a)=lnaa,g(1)=0,
易得g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
由(1)知,lnxx 又a>1,所以当a=e时,g(x)=g(a)有且只有一个解,
所以若函数f(x)有且只有一个零点,则a=e,此时f(x)=ex-xe,
所以f'(x)=ex-exe-1=e(ex-1-xe-1),(8分)
令f'(x)=0,得ex-1-xe-1=0,则ex-1=xe-1,两边同时取自然对数得x-1=(e-1)ln x,
令φ(x)=x-1-(e-1)ln x(x>0),则φ'(x)=1-e-1x=x-(e-1)x,
因为当x∈(0,e-1)时,φ'(x)<0;当x∈(e-1,+∞)时,φ'(x)>0,
所以φ(x)在(0,e-1)上单调递减,在(e-1,+∞)上单调递增,又φ(1)=φ(e)=0,
所以当x∈(0,1)时,φ(x)>0,当x∈(1,e)时,φ(x)<0,当x∈(e,+∞)时,φ(x)>0,
所以当x∈(0,1)时,x-1>(e-1)ln x,则ex-1>xe-1,则f'(x)>0,(10分)
同理可得,当x∈(1,e)时, f'(x)<0;当x∈(e,+∞)时, f'(x)>0,
所以x=1和x=e分别是函数f(x)的极大值点和极小值点,
所以当a=e时, f(x)的极大值为f(1)=e-1,极小值为f(e)=0.(12分)
22.解析　(1)由已知,得ξ1=k,P(ξ1=k)=1,
得E(ξ1)=k,
ξ2的所有可能取值为1,k+1,(1分)
P(ξ2=1)=(1-p)k,P(ξ2=k+1)=1-(1-p)k,
∴E(ξ2)=(1-p)k+(k+1)[1-(1-p)k]=k+1-k(1-p)k.
若E(ξ1)=E(ξ2),则k=k+1-k(1-p)k,
∴(1-p)k=1k,∴1-p=1k1k,
∴p=1-1k1k.
∴p关于k的函数关系式为f(k)=1-1k1k(k∈N+且k≥2).(4分)
(2)(i)证明:当n=2时,e-13·x22x1x2=x22-x12x22-x12,∴x2x1=e13,令q=x2x1=e13,
则q>0且q≠1,
∵x1=1,∴下面证明对任意的正整数n,都有xn=en-13.
①当n=1,2时,显然成立;(6分)
②假设对任意的n=k(k≥2,k∈N+)时,xk=ek-13成立,则当n=k+1时,
e-13·∑i=1kxk+12xixi+1=xk+12-x12x22-x12,
∴e-13·xk+121x1x2+1x2x3+…+1xk-1xk+1xkxk+1=xk+12-1e23-1,
∴e-13·xk+12·e-13[1-(e-23)k-1]1-e-23+1ek-13·xk+1=xk+12-1e23-1,
∴xk+12[1-e-2(k-1)3]e23-1+e-k3·xk+1=xk+12-1e23-1,
∴e-2(k-1)3·xk+12+(e-k3-e-k3+23)·xk+1-1=0,∴(e-k3xk+1-1)(e-k3+23xk+1+1)=0,
∴xk+1=ek3或xk+1=-ek3-23.
∵k≥2,∴xk+1=-ek3-23≤0,故舍去,
∴xk+1=ek3成立.
∴由①②可知,{xn}为等比数列,xn=en-13.(8分)
(ii)由(1)、(i)及题意知,p=1-13x4=1-13e,E(ξ1)>E(ξ2),∴k>k+1-k(1-p)k,得1k<(1-p)k=13ek,∴ln k>13k.(10分)
设f(x)=ln x-13x(x>0),则f'(x)=3-x3x,
∴当x≥3时, f'(x)≤0(当且仅当x=3时取等号),即f(x)在[3,+∞)上单调递减.
又ln 4≈1.386 3,43≈1.333 3,ln 5≈1.609 4,53≈1.666 7,∴ln 4>43,
ln 5<53,
∴k的最大值为4.(12分)