数学必修 第三册7.1.1 角的推广巩固练习

第七章　三角函数

7.1　任意角的概念与弧度制

7.1.1　角的推广

基础过关练

题组一　任意角的概念的理解

1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.120°  B.-120°  C.60°    D.240°

2.从13:00到14:00,时针转过的角为　　　　,分针转过的角为　　　　. 

题组二　终边相同的角与区域角

3.下列各角中,与60°角终边相同的角是(　　)

A.-300°    B.-60°     C.600°   D.1 380°

4.下面各组角中,终边相同的是(　　)

A.390°,690°        B.-330°,750°

C.480°,-420°        D.3 000°,-840°

5.如果角α=-21°,那么与α终边相同的角可以表示为(　　)

A.{β|β=k·360°+21°,k∈Z}

B.{β|β=k·360°-21°,k∈Z}

C.{β|β=k·180°+21°,k∈Z}

D.{β|β=k·180°-21°,k∈Z}

6.与-2 020°角终边相同的最小正角是　　　　. 

7.已知如图.

(1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;

(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

8.写出-720°~360°范围内与-1 020°角终边相同的角.

9.已知角α=-1 910°.

(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;

(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.

题组三　象限角的判断

10.下列命题正确的是(　　)

A.终边在x轴的非正半轴上的角是零角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同

11.若α是第四象限角,则180°-α是(　　)

A.第一象限角   B.第二象限角   C.第三象限角    D.第四象限角

12.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是　(　　)

A.90°-α      B.90°+α      C.360°-α       D.180°+α

13.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α是(　　)

A.第一或第三象限角         B.第一或第二象限角

C.第二或第四象限角         D.第三或第四象限角

14.下列说法正确的有(　　)

①大于等于0°,小于等于90°的角是锐角;

②钝角一定大于第一象限的角;

③第二象限的角一定大于第一象限的角;

④始边与终边重合的角的度数为0°.

A.0个    B.1个    C.2个    D.3个

15.若α=k·360°+45°,k∈Z,则是　　　　象限角. 

能力提升练

一、单项选择题

1.(疑难1,★★☆)与角-390°终边相同的最小正角是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.-30°   B.30°   C.60°   D.330°

2.(2019湖北荆门高一期末,疑难1,★★☆)2 019°角是(　　)

A.第一象限角       B.第二象限角

C.第三象限角       D.第四象限角

3.(2019贵州铜仁高一质检,疑难1,★★☆)下列各角中,与126°角终边相同的角是(　　)

A.-126°      B.486°       C.-244°      D.574°

4.(疑难2,★★☆)终边在直线y=-x上的所有角的集合是(　　)

A.{α|α=k·360°+135°,k∈Z}   B.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}

C.{α|α=k·180°+225°,k∈Z}   D.{α|α=k·180°-45°,k∈Z}

5.(★★☆)若角α与角β的终边互为反向延长线,则有　(　　)

A. α=β+180°          B. α=β-180°

C. α=-β              D. α=β+(2k+1)·180°,k∈Z

二、多项选择题

6.(疑难1,★★☆)下列与412°角的终边相同的角是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.52°     B.778°     C.-308°    D.1 132°

三、填空题

7.(2018黑龙江牡丹江第三高级中学高一期中,疑难1,★★☆)下列说法中正确的为　　　　(填序号). 

①-65°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;

③475°角是第二象限角;④-315°角是第一象限角.

8.(疑难2,★★☆)如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是　　　　　　　　　　　　　　. 

9.(★★☆)若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α =　　　　. 

四、解答题

10.(疑难2,★★☆)写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围.

11.(★★☆)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在以原点为圆心,1为半径的圆上爬动,两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),则两只蚂蚁都在第14 s时回到A点,并且在第2 s时均位于第二象限,求α,β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　按逆时针方向旋转形成的角是正角,所以射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为120°.

2.答案　-30°;-360°

解析　经过一小时,时针顺时针旋转30°,分针顺时针旋转360°,结合负角的定义可知时针转过的角为-30°,分针转过的角为-360°.

3.A　与60°角终边相同的角可表示成α=k·360°+60°,k∈Z,令k=-1,得α=-300°.

4.B　∵-330°=-360°+30°,750°=360°×2+30°,∴-330°角与750°角终边相同.

5.B　终边相同的角相差360°的整数倍,故与角α终边相同的角可以表示为{β|β=k·360°-21°,k∈Z}.

6.答案　140°

解析　与-2 020°角终边相同的角的集合为{β|β=-2 020°+k·360°,k∈Z}, 当k=6时,得到与

-2 020°角终边相同的最小正角,即β=-2 020°+6×360°=140°.

7.解析　(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.

(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.

8.解析　与-1 020°角终边相同的角可表示为α=k·360°-1 020°(k∈Z).

令-720°≤k·360°-1 020°≤360°,

解得≤k≤,而k∈Z,∴k=1,2,3.

当k=1时,α=-660°;

当k=2时,α=-300°;

当k=3时,α=60°.

故在-720°~360°范围内与-1 020°角终边相同的角有三个,分别是-660°,-300°,60°.

9.解析　(1)-1 910°=-6×360°+250°.

(2)令θ=250°+k·360°(k∈Z),

因为-720°≤θ<0°,

所以-720°≤250°+k·360°<0°,

即-≤k<-.

因为k∈Z,所以k=-1或k=-2,

当k=-1时,θ=250°+(-1)×360°=-110°;

当k=-2时,θ=250°+(-2)×360°=-470°.

所以θ=-110°或-470°.

10.D　终边在x轴的非正半轴上的角为k·360°+180°,k∈Z,零角为0°,所以A错误;480°角为第二象限角,但不是钝角,所以B错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以C错误.故选D.

11.C　因为α是第四象限角,则角α应满足:k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z,

所以-k·360°<-α<-k·360°+90°,k∈Z,则-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+270°,k∈Z,

当k=0时,180°<180°-α<270°,故180°-α为第三象限角.

12.C　若α是第一象限角,则90°-α位于第一象限,90°+α位于第二象限,180°+α位于第三象限,360°-α位于第四象限.故选C.

13.A　由题意知α=k·180°+45°,k∈Z,

当k=2n+1,n∈Z时,α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,在第三象限;

当k=2n,n∈Z时,α=2n·180°+45°=n·360°+45°,在第一象限.

∴α是第一或第三象限角.

14.A　①错,0°和90°角不是锐角;②错,390°角是第一象限的角,大于任何钝角α(90°<α<180°);③错,第二象限角中的-210°角小于第一象限角中的30°角;④错,始边与终边重合的角的度数是k·360°(k∈Z).故选A.

15.答案　第一或第三

解析　∵α=k·360°+45°,k∈Z,

∴ =k·180°+22.5°,k∈Z.

当k为偶数,即k=2n,n∈Z时, =n·360°+22.5°,n∈Z,此时为第一象限角;

当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时, =n·360°+202.5°,n∈Z,此时为第三象限角.

综上,是第一或第三象限角.

能力提升练

一、单项选择题

1.D　依题意得-390°+360°=-30°,-30°+360°=330°,故选D.

2.C　由题意,可知2 019°=360°×5+219°,所以2 019°角和219°角终边相同,又219°角是第三象限角,所以2 019°角是第三象限角,故选C.

3.B　与126°角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k·360°,k∈Z}.取k=1,可得α=486°,

∴与126°角终边相同的角是486°.

4.D　直线y=-x如图所示,由图可知,终边落在直线y=-x上的所有角的集合是{α|α=k·180°-45°,k∈Z},故选D.

5.D　因为角α与角β的终边互为反向延长线,所以两角的终边相差180°的奇数倍,即α=β+(2k+1)·180°,k∈Z.

 二、多项选择题

6.ACD　因为412°=360°+52°,所以与412°角的终边相同的角为β=k×360°+52°,k∈Z.当k=-1时,β=-308°;当k=0时,β=52°;当k=2时,β=772°;当k=3时,β=1 132°;当k=4时,β=1 492°.综上,A、C、D正确.

三、填空题

7.答案　①②③④

解析　易知①②正确;

③475°=360°+115°,因为115°角是第二象限角,所以475°角为第二象限角,故③正确;

④-315°=-360°+45°,因为45°角是第一象限角,所以-315°角是第一象限角,故④正确.

故正确的序号为①②③④.

8.答案　{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}

解析　终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α=120°+k·360°,k∈Z},

终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α=-45°+k·360°,k∈Z},

故终边落在阴影部分的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.

9.答案　270°

解析　∵角5α与α具有相同的始边与终边,∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,

∴α=k·90°,k∈Z.又180°<α<360°,∴k=3,∴α=270°.

四、解答题

10.解析　(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°,k∈Z的形式,所以题图(1)阴影部分的角α的范围为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}.

(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°,k∈Z的形式,与360°-60°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°,k∈Z的形式,所以题图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}.

11.解析　根据题意,可知14α,14β均为360°的整数倍,

故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,则α=·180°,m∈Z,β=·180°,n∈Z.

由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限,知2α,2β均为第二象限角.

因为0°<α<β<180°,所以0°<2α<2β<360°,

所以2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°,所以45°<α<90°,45°<β<90°.

所以45°< ·180°<90°,45°< ·180°<90°,即< m <,< n <.

又α<β,所以m<n,从而可得m=2,n=3,即α=°,β=°.