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高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广完整版ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广完整版ppt课件，文件包含711《角的推广》课件PPTpptx、711《角的推广》教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共44页， 欢迎下载使用。
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念.2.认识终边相同的角并会简单表示.3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.
重点：能够写出终边相同的角的集合；难点：会判断象限角.
新知初探---自主预习
知识点一 角的概念的推广1．角的概念一条射线绕其端点 另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的 和 ．
3.角的加减法运算引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为 ．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的 ．
解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．
1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角. ( )(2)终边与始边重合的角为零角． ( )(3)大于90°的角都是钝角． ( )(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°. ( )(5)终边和始边重合的角一定是零角． ( )
2．下列说法正确的是 ( )A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
知识点二 象限角 象限角及终边相同的角
[微提醒] 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
1．判断正误(1)终边相同的角一定相等．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第二象限角是钝角．( )(4)225°是第三象限角．( )
2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z) ( )A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.
4.钟表的分针在一个半小时内转了( ) A．180° B．－180° C．540° D．－540°
课堂探究---素养提升
题型一 与任意角有关的概念辨析
(1)下列说法正确的是 ( ) A．第一象限的角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90° D．第二象限的角一定大于第一象限的角 (2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考 试开始到考试结束分针转过了 ( ) A．360° B．720° C．－360° D．－720°
判断角的概念问题的关键与技巧
1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是 ( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D
解析：集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.
2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 象限角及终边相同的角
在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.
(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．
[解] (1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
1．已知α＝－1 845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．
解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°,即－1 845°角与－45°角的终边相同,所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°,k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[解] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
解：由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
(1)若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
(1) 因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°<α
(1)关于y轴对称：角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°,k∈Z.(2)关于x轴对称：角α与β的关系是β＝－α＋k·360°,k∈Z.(3)关于原点对称：角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°,k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°,k∈Z.
课堂小结---素养形成
1.终边在坐标轴上的角的集合表示
3.对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).
一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是 ( )A．－300° B．－60°C．600° D．1 380°
解析：与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z， 令k＝－1，则α＝－300°.
2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在( )A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
解析：令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.
3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．
解析：因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ
5．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.
解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
二、创新应用题6．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．
解：因为1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.
三、易错防范题7．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.
解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为 β＝30°＋k·360°，k∈Z， 终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z. 所以终边在阴影部分内的角的集合为 {α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．
1.了解角的概念的推广过程，理解任意角的概念.2.认识终边相同的角并会简单表示.3.通过学习，提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.
重点：能够写出终边相同的角的集合；难点：会判断象限角.
新知初探---自主预习
知识点一 角的概念的推广1．角的概念一条射线绕其端点 另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的 和 ．
3.角的加减法运算引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为 ．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的 ．
解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．
1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角. ( )(2)终边与始边重合的角为零角． ( )(3)大于90°的角都是钝角． ( )(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°. ( )(5)终边和始边重合的角一定是零角． ( )
2．下列说法正确的是 ( )A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小
3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
知识点二 象限角 象限角及终边相同的角
[微提醒] 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，可称为轴线角．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
1．判断正误(1)终边相同的角一定相等．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第二象限角是钝角．( )(4)225°是第三象限角．( )
2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z) ( )A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°
3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．
解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.
4.钟表的分针在一个半小时内转了( ) A．180° B．－180° C．540° D．－540°
课堂探究---素养提升
题型一 与任意角有关的概念辨析
(1)下列说法正确的是 ( ) A．第一象限的角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90° D．第二象限的角一定大于第一象限的角 (2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考 试开始到考试结束分针转过了 ( ) A．360° B．720° C．－360° D．－720°
判断角的概念问题的关键与技巧
1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是 ( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D
解析：集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.
2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
题型二 象限角及终边相同的角
在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.
(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．
[解] (1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
1．已知α＝－1 845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．
解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°,即－1 845°角与－45°角的终边相同,所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°,k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y＝x(x≥0)上．
解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．
已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[解] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
解：由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
(1)若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
(1) 因为α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°<α
(1)关于y轴对称：角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°,k∈Z.(2)关于x轴对称：角α与β的关系是β＝－α＋k·360°,k∈Z.(3)关于原点对称：角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°,k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°,k∈Z.
课堂小结---素养形成
1.终边在坐标轴上的角的集合表示
3.对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).
一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是 ( )A．－300° B．－60°C．600° D．1 380°
解析：与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z， 令k＝－1，则α＝－300°.
2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在( )A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上
解析：令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.
3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．
解析：因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ
5．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.
解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
二、创新应用题6．在与角1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．
解：因为1 030°＝2×360°＋310°，所以与角1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.
三、易错防范题7．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.
解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为 β＝30°＋k·360°，k∈Z， 终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z. 所以终边在阴影部分内的角的集合为 {α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．
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