高中数学7.1.1 角的推广教学演示ppt课件

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1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义.2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.
在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360°的角,我们如何认识这样的角呢?这样的角不再局限于0°~360°的范围内,可以是任意的大小,还可以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广.
知识点一:任意角1.角的概念:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角.微练习经过1个小时,时针转过的角度是　　　　. 答案-30°
知识点二:象限角1.象限角将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.2.终边相同的角一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.
名师点析 对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
微判断(1)钝角是第二象限角.(　　)(2)第二象限角是钝角.(　　)(3)第二象限角大于第一象限角.(　　)答案(1)√　(2)×　(3)×微练习与-40°角终边相同的角的集合是(　　)A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}答案A
有关角的概念问题例1下列说法正确的是(　　)A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角一定是锐角C.终边相同的角之间相差360°的整数倍D.大于90°的角都是钝角分析根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.解析终边相同的角不一定相等,可能相差k·360°(k∈Z),故A错;因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α180°时,均大于90°,所以大于90°的角不一定都是钝角,故D错.
答案C反思感悟 判断角的概念问题的关键与技巧(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.
变式训练1判断下列说法是否正确:(1)第一象限的角小于第二象限的角;(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.解(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°>120°,所以该说法是错误的.(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然该说法是错误的.
终边相同的角的问题例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中:(1)有几种终边不相同的角?(2)在集合S中有几个在-360°~360°内的角?
分析从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得的各角,如图所示,结合图形求解.
解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角终边相同的角.(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在-360°~360°内的角共有8个.
反思感悟 运用终边相同的角的注意事项所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在运用时需注意以下四点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接.(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.
变式训练2如图所示,写出终边落在直线y= x上的角的集合.解终边落在y= x(x≥0)上的角的集合为S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},终边落在y= x(x≤0)上的角的集合为S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,终边落在直线y= x上的角的集合为S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
终边相同的角的集合之间的关系例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.解因为30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z,所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<80°+n·360°,n∈Z;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<260°+n·360°,n∈Z,所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.所以A∩B={α|30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
反思感悟 区域角表示的步骤(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域.(2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角.(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题.
延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<80°+k·120°,k∈Z},求A∩B.解对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<α<80°+n·360°.当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<α<200°+n·360°.当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<α<320°+n·360°.故A∩B={α|-45°+n·360°<α<-40°+n·360°或30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
1.下列叙述正确的是(　　)A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析90°的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案B
2.把-1 485°化成α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(　　)A.315°-5×360°B.45°-4×360°C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案A3.已知α是第四象限的角,则 是　　　　　象限的角. 答案第二或第四
4.终边在120°角终边所在直线上的所有角的集合是　　　　　,上述集合在[-180°,180°)内的角是　　　　　. 解析所求角的集合依次为S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z},S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z},因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.当n=-1或n=0时,取得在[-180°,180°)内的角为-60°,120°.答案{α|α=120°+n·180°,n∈Z}　-60°,120°