高中数学人教版新课标A选修2-31.2排列与组合免费复习练习题

1.2.2　组合

基础过关练

题组一　对组合概念的理解

1.判断下列问题是组合问题还是排列问题.

(1)若集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?

(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票?

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学;

(4)三个人去做5种不同的工作,每人做1种,有多少种分工方法?

(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法?

2.写出从A,B,C,D,E五个元素中取出三个元素的所有组合.

3.从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘.

(1)列出所有的取法,并分别指出乘积为偶数与奇数的取法;

(2)不同的乘积结果有多少个?

题组二　组合数公式及性质的应用

4.(2019黑龙江牡丹江高二期中)若=,则n的值是(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

5.满足=的x的值为(　　)

A.1,3,5,-7     B.1,3

C.1,3,5        D.3,5

6.(2019河南郑州高二月考)满足条件>的正整数n的个数是(　　)

A.10   B.9   C.4    D.3

7.下列等式中,错误的是(　　)

A.(n+1)=     B.=(n-2)!

C. =           D.=

8.下列有关排列数、组合数的计算,正确的是(　　)

①= ;

②(n+2)(n+1)=;

③+++…+=;

④+是一个常数.

A.①②    B.②③

C.①④    D.②④

9.已知,,成等差数列,则=　　　.(用数字作答) 

10.+++…+=　　　　.(用数字作答) 

11.解不等式:-<.

题组三　组合的简单应用

12.(2019黑龙江齐齐哈尔高二期中)一个盒子装有相同大小的红球32个,白球4个,从中任取2个,则下列事件概率为的是(　　)

A.没有白球

B.至少有1个是红球

C.至少有1个是白球

D.至多有1个是白球

13.(2019福建泉州高二期末)将4名学生分配到5间宿舍中的任意2间住宿,每间宿舍2人,则不同的分配方法有(　　)

A.240种 B.120种

C.90种 D.60种

14.(2019广东珠海高二期末)从10名男生和6名女生中任选3人参加竞赛,要求参赛的3人中既有男生又有女生,则不同的选法种数为(　　)

A.1 190   B.420

C.560       D.3 360

15.将4个完全相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有(　　)

A.10种  B.20种

C.36种  D.52种

16.在平面直角坐标系xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有(　　)

A.25个    B.36个

C.100个   D.225个

17.(2020吉林舒兰高二上学期期中)将5个相同的红球和6个相同的白球放入袋中混匀,现从袋中任意取出4个球,若取出的红球个数多于白球个数,则共有　　　 种不同的取法. 

18.(2019福建晋江南侨中学高二月考)有3男2女共5名学生被分派去A,B,C三个公司实习,每个公司至少1人,且A公司只要女生,共有

　　　  种不同的分派方案.(用数字作答) 

19.(2019山东菏泽高二下学期期末)在20件产品中有3件次品,现从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有多少种?

20.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有多少种?

21.(2019江西景德镇一中高二期中)一次游戏有10个人参加,现将这10人分为5组,每组2人.

(1)若任意2人可分为一组,求这样的分组方式有多少种?

(2)若这10人中有5名男生和5名女生,要求各组人员不能为同性,求这样的分组方式有多少种?

(3)若这10人恰为5对夫妻,任意2人均可分为一组,则分组后恰有一对夫妻在同组的概率是多少?

能力提升练

一、选择题

1.(2019江西临川一中高考模拟,★★☆)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的五个代表团人员(含A、B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为(　　)

A.6 B.12 C.16 D.18

2.(2019黑龙江齐齐哈尔五校期末联考,★★☆)有黑、白、红三种颜色的小球各5个,都分别标有数字1,2,3,4,5,现取出5个小球,要求这5个小球数字不相同但三种颜色齐备,则不同的取法种数是(　　)

A.120  B.150  C.240  D.260

3.(2019安徽亳州二中高二期末,★★☆)某地举办科技博览会,有3个场馆,现将24个志愿者名额分配给这3个场馆,则每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法种数为(　　)

A.222   B.253   C.276   D.284

4.(2019四川宜宾第四中学高三适应性考试,★★☆)甲、乙、丙、丁、戊5位老师被安排去4个地区支教,每个地区至少安排1个人,则不同的安排方法种数是(　　)

A.150   B.120  C.180  D.240

5.(2019河北唐山高二下学期期末,★★☆)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分配方法有(　　)

A.80种    B.90种  C.120种   D.150种

6.(2019安徽六安一中高二期末,★★☆)某校高三年级教学楼共5层,甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2～5层的某一层楼上课,则满足有且仅有一人上5层上课,且甲不在2层上课的所有可能的情况种数是(　　)

A.27 B.81 C.54 D.108

7.(2019贵州遵义航天高级中学高三第二次模拟,★★★)将五本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,至多两本,则不同的分法种数是(　　)

A.60 B.90 C.120 D.180

8.(2019广东肇庆高三期末,★★★)将甲、乙、丙、丁、戊5人分配到A、B、C、D 4所学校,每所学校至少1人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有(　　)

A.72种 B.108种 C.180种 D.360种

二、填空题

9.(★★☆)化简:-1++++…+=　　　　. 

10.(2019浙江丽水高二下学期期末,★★☆)某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有　　　　种. 

11.(2019四川雅安高二期末,★★☆)某单位在3名男职工和5名女职工中,选取4人参加一项活动,要求男女职工都有,则不同的选取方法总数为　　　　. 

12.(2019吉林辽源高二期末,★★☆)某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础,增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修,且每门课程都要有人选,则不同的选择方法共有　　　　种(用数字作答). 

三、解答题

13.(2019江苏泰州中学高二月考,★★★)设n≥3,n∈N*,在集合{1,2,…,n}的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加,和记为a,较小元素之和记为b.

(1)当n=3时,求a,b的值;

(2)求证:对任意的n≥3,n∈N*,为定值.

答案全解全析

基础过关练

1.解析　(1)因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序无关,所以它是组合问题.

(2)车票与起点、终点顺序有关,例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同,故它是排列问题.

(3)从7本不同的书中取出5本给某同学,取出的5本书并不考虑书的顺序,故它是组合问题.

(4)因为一种分工方法就是从5种不同的工作中取出3种,按一定顺序分给三人去做,所以它是排列问题.

(5)因为3本书是相同的,把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序,所以它是组合问题.

2.解析　所有组合为ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE.

3.解析　(1)由于乘法满足交换律,所以本题是组合问题,现规定用数对(a,b)表示每一种取法,并且(a,b)和(b,a)是同一种取法,从1,2,3,6,9中任取两个不同的数,不同的取法有(1,2),(1,3),(1,6),(1,9),(2,3),(2,6),(2,9),(3,6),(3,9),(6,9),共10种.其中乘积为偶数的有(1,2),(1,6),(2,3),(2,6),(2,9),(3,6),(6,9),共7种,乘积为奇数的有(1,3),(1,9),(3,9),共3种.

(2)1×2=2,1×3=3,1×6=2×3=6,1×9=9,2×6=12,2×9=3×6=18,3×9=27,6×9=54,所以不同的乘积结果有8个.

4.C　∵==,

∴(n-2)(n-3)=12,即n2-5n-6=0,

∴n=6或n=-1(舍去),故选C.

5.B　依题意,有x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16,解得x=1或x=5或x=-7或x=3.经检验知,只有x=1与x=3符合题意,故选B.

6.C　∵>,∴>,

∴(n-4)(n-5)<30,∴n2-9n-10<0,解得-1<n<10,又n≥6,且n∈N*,则n可取的值是6,7,8,9,共4个,故选C.

7.C　通过计算得到选项A,B,D中等式是正确的.对于选项C,=,所以选项C中等式是错误的,故选C.

8.D　∵=,∴①不正确.

②(n+2)(n+1)=(n+2)(n+1)n(n-1)·…·(n-m+1)=,故②正确.

③+++…+

=++++…+-1

=+++…+-1

=++…+-1=-1,故③不正确.

④n应满足解得n=2.

所以+=+=2,故④正确.

综上可知选D.

9.答案　91

解析　∵,,成等差数列,∴2=+,即2×=+,整理得n2-21n+98=0,

解得n=14或n=7(舍去),则==91.

10.答案　7 315

解析　原式=+++…+=++…+=+===

7 315.

11.解析　通过将原不等式化简可以得到

-<,

∵x≥5,∴x2-11x-12<0,∴5≤x<12.

又∵x∈N*,∴x∈{5,6,7,8,9,10,11}.

12.C　表示从36个球中任取2个球的不同取法的总数,表示从36个球中任取2个球且它们是一红一白的不同取法的总数,表示从4个白球中任取2个球的取法总数,故为从36个球中任取2个球,至少有1个是白球的概率,故选C.

13.D　根据题意可以分两步完成:

第一步,选宿舍有=10种可能;

第二步,分配学生有=6种可能.根据分步乘法计数原理,不同的分配方法有10×6=60(种),故选D.

14.B　要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况:①1名男生2名女生,有种选法;②2名男生1名女生,有种选法.

由分类加法计数原理可得不同的选法种数为+=420.故选B.

15.A　有两种满足题意的放法:

①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子中,有=4种放法;

②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子中,有=6种放法.

则不同的放球方法共有4+6=10(种).

16.D　从垂直于x轴的6条直线中任取2条,从垂直于y轴的6条直线中任取2条,4条直线相交组成一个矩形,所以矩形总数为×=15×15=225.

17.答案　65

解析　依题意知,取出的4个球中至少有3个红球,可分两类:

①取出的全是红球,此时的取法有种;②取出的4个球中有3个红球,此时的取法有种.

由分类加法计数原理,可知共有+=5+10×6=65种不同的取法.

18.答案　34

解析　由题意可以分两种情况:第一种,A公司只有1个女生,有=2种分派方案,则B,C公司分派人数可以为2,2,或者1,3,或者3,1,有++=14种分派方案,所以共有2×14=28种分派方案;第二种,A公司有2个女生,只有1种分派方案,则B,C公司的分派人数只能是1,2,或者2,1,则有+=6种分派方案,根据分类加法计数原理,共有28+6=34种分派方案.

19.解析　根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,

“有2件次品”的抽取方法有种,“有3件次品”的抽取方法有种,

则共有+=2 176种不同的抽取方法.

20.解析　分3步进行:①为甲地选一名老师,有=2种选法;

②为甲地选两名学生,有=6种选法;

③剩下的1名教师,2名学生安排到乙地,有1种选法,

则不同的安排方案共有2×6×1=12(种).

21.解析　(1)将10人平均分为5组共有=945种分组方式.

(2)将5名男生视为5个不同的小盒,5名女生视为5个不同的小球,问题转化为将5个小球装入5个不同的盒子,每盒一个球,共有=120种分组方式.

(3)易知将任意两人分为一组共有945种分组方式.若求分组后恰有一对夫妻在同组的概率,则先求得恰有一对夫妻在同组的分组方式种数.先任选一对夫妻,有种选法,再将剩余4对夫妻分组,将4个丈夫视为4个小球A,B,C,D,4个妻子分别对应为4个盒子a,b,c,d,

问题转化为将4个小球装入4个不同的盒子,每盒一个球,且字母互不对应,有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA,共有9种方法,故不同的分组方式有×9=45(种).故分组后恰有一对夫妻在同组的概率为=.

能力提升练

一、选择题

1.B　如果仅有A、B两市代表团入住a宾馆,则余下三个代表团必有两个入住同一个宾馆,此时共有=6种安排;如果有A、B及另外一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住b,c,此时共有=6种安排.综上,共有不同的安排种数为6+6=12,故选B.

2.B　取出的5个小球三种颜色的个数分为1,1,3和1,2,2两种情况,可得不同的取法种数为3+3·=60+90=150,故选B.

3.A　每个场馆至少有一个名额的分法为=253(种),至少有两个场馆的名额相同的分配方法有(1,1,22),(2,2,20),(3,3,18),(4,4,16),(5,5,14),(6,6,12),(7,7,10),(8,8,8),(9,9,6),(10,10,4),(11,11,2),共11种,再对场馆分配,共有3+1=31(种),所以每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有253-31=222(种),故选A.

4.D　分两步进行,先把5位老师分为2,1,1,1四组,有种分法,再将4组对应四个地区,有种情况,由分步乘法计数原理得,共有=240种安排方法,故选D.

5.D　将5名教师分配至三所中学,需要先对教师分组,后分配.

首先将教师分组,有两种情况:一是按3、1、1分组,分组情况共有=10(种);

二是按2、2、1分组,分组情况共有=15(种),所以一共有10+15=25种分组情况.

再将三组分配至三所中学,共有=6种情况,故共有25×6=150种分配方法.

6.B　甲在5层有33=27种情况,甲不在5层且不在2层有×32=54种情况,

由分类加法计数原理知,共有54+27=81种不同的情况,故选B.

7.B　根据题意,分2步进行分析:①五本不同的书分成3组,有1个组一本,剩余两组每组两本,则有=15种分组方法;②将分好的3组全排列,对应甲、乙、丙三人,有=6种情况,所以有15×6=90种不同分法,故选B.

8.C　当甲被分到B学校时,共有+×=60种分法,当甲被分到C、D学校时和分到B学校情况一致,故共有3×60=180种不同的分法.

二、填空题

9.答案　328

解析　-1++++…+=-1+++++…+-1=-2+=328.

10.答案　7

解析　根据题意,从A到B的最短路径,只能向右、向下运动,从A到B最短的路径需要向下走2次,向右走3次,即从5次中任取2次向下,剩下3次向右,有=10种情况,但其中有3种路线是不通的,故方法数是10-3=7,故答案为7.

11.答案　65

解析　由题意可知,全是女职工的选法种数为=5,因此,男女职工都有的选法种数为-=70-5=65.

12.答案　540

解析　由题可知6名学生不同的分组方法有三类:①4,1,1;②3,2,1;③2,2,2.所以不同的选择方法共有·++=540(种).

三、解答题

13.解析　(1)当n=3时,集合{1,2,3}的所有元素个数为2的子集有{1,2},{1,3},{2,3},

所以a=2+3+3=8,b=1+1+2=4.

(2)证明:当n≥3,n∈N*时,依题意,

b=1×+2×+3×+…+(n-2)×+(n-1)×,

a=2×+3×+4×+…+(n-1)×+n×=2×1+3×2+4×3+…+(n-1)×(n-2)+n×(n-1),

则=+++…+

=+++…+

=++…+

=,

所以a=2.

又a+b=(1+2+3+…+n)×=×(n-1)=3,

所以b=,所以=,为定值.