人教版新课标B选修2-31.2.2组合同步达标检测题

排列组合应用题的类型及解题策略

        四川省双流县中学     周汝东

排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）  ②有序还是无序   ③分步还是分类。

二．处理排列组合应用题的规律

（1）两种思路：直接法，间接法。

（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。

解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。

特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。

例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有          种不同的播放方式（结果用数值表示）.

解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．

  （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。

 三．基本题型及方法：

1．相邻问题

（1）、全相邻问题，捆邦法

例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。

A）720   B）360  C）240  D）120

说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

（2）、全不相邻问题，插空法

例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，

解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种

例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

（A）1800        （B）3600            （C）4320            （D）5040

解：不同排法的种数为＝3600，故选B

说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。

（3）．不全相邻排除法，排除处理

例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？

解：

例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

解法一：　　①前后各一个，有8×12×2＝192种方法

　　②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法

③两人都在前排：

两人都在前排左边的四个位置：

　此种情况共有4＋2＝6种方法

因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法

　　④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右

　　∴　甲左乙右总共有种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种

解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有种

2、顺序一定，除法处理或分类法。

例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（  ）（用数字作答）。

解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有

说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷

 例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是     。（用数字作答）

解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有＝30种不同排法。解二：=30

例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（  ）

A）210个              B）300个            C）464个              D）600个

解：                                             故选（B）

4、多元问题，分类法

例10．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有      种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有种选法，共有600种不同的选派方案．

例11：（06全国卷I）设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．        B．              C．             D．

解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有=1种；总计有，选B.

解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；

从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；

总计为10+20+15+4=49种方法。选B.

例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）

A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种 　　　　　D．52种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，选A．

说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。

5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。

例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？

解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252

例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。

（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？

（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？

例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（    ）

A）6种  B）9种  C）11种   D）23种

解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B

说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。

例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是              .(用数字作答) 。（答：78种）

说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。

6、多排问题，单排法

例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为

A）             B）            C）             D）

解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。∴选（D）

 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）

例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有

（A）108种　　　 （B）186种　　　  　（C）216种　　　　  （D）270种

解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B.

例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

【解析】两老一新时, 有种排法；两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.

【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.

例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

（A）３０种　　　（B）９０种         （C）１８０种　　　　（D）２７０种

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.

说明：含“至多”或 “至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。

8、部分符合条件淘汰法

例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有                    （    ）         A）150种   B）147种  C）144种     D）141种

解：10个点取4个点共有      种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有                              选D

说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。

9．分组问题与分配问题

①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理

例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？

分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。

练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？

②分配问题：      定额分配，组合处理；           随机分配，先组后排。

例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？

（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。

例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）＝576。

【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列

练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？

     2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？

例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有  (     )

A.16种            B.36种             C.42种             D.60种

解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有，

                  二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有，

               共有=60，             故选   （D）

10．隔板法：隔板法及其应用技巧  

 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：

例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)

   分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）

               ○○○    ○○○    ○○○○               

则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：

技巧一：添加球数用隔板法。

    例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。

分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z  各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为=66个。

    【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。

  技巧二：减少球数用隔板法。

   例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

   分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有    =286 种方法。

     分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有  =286  种方法。

  【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。

  技巧三：先后插入用隔板法。

例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？

  分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。

     【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。

11．数字问题（组成无重复数字的整数）

   ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

③   能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。

④   能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑤       能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。

⑥       能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

例30（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

（A）36个       （B）24个           （C）18个         （D）6个

解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B

例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　24　个（用数字作答）．

12．分球入盒问题

例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？

①     小球不同，盒子不同，盒子不空

解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有

②小球不同，盒子不同，盒子可空                 解：种

③小球不同，盒子相同，盒子不空

解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种

④小球不同，盒子相同，盒子可空

本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有种

⑤小球相同，盒子不同，盒子不空

解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00      ，有种方法

⑥小球相同，盒子不同，盒子可空

解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有=21

解：分步插板法。

⑦小球相同，盒子相同，盒子不空

解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。  共 2种

⑧小球相同，盒子相同，盒子可空

解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0；  4，1，0；3，2，0；

 3，1，1；  2，2，1。

例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内

（1）共有几种放法？（答：）

（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：）

（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：）

（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答：）

13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？

              （2）以涂色先后分步，以色的种类分类。

例34、（2003全国）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分

为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽

种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有  120        种？

例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为  420       

应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。