数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数巩固练习

3.1.3　组合与组合数

基础过关练

题组一　组合、组合数与组合数公式

1.以下四个问题中,属于组合问题的是(　　)

A.从3个不同的小球中,取出2个小球排成一列

B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星

D.从13位司机中任选出两位分别去往甲、乙两地　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2.(2020山东临沂高二期末)2+3的值是(　　)

A.72  B.102 C.5 070 D.5 100

3.(2020山东菏泽高二期末)下列计算结果是21的是(　　)

A.+ B. C. D.

4.(2019上海普陀高二期末)已知n,m∈N+,n≥m,下面恒成立的等式是(　　)

A.=          B.=

C.+= D.+=

5.(2020河南焦作高二期中)满足>的正整数n的个数是(　　)

A.10 B.9 C.4 D.3

6.已知=,求n.

7.(2019江苏常州高二期末)计算:+-.

题组二　组合数的简单应用

8.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则选法总数为(　　)

A.     B.

C.--          D.(++)

9.某市为了提高整体教学质量,在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体,现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去两所共建学校交流学习,若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部,则该市直属高中学校共有选派方法(　　)

A.160种 B.80种 C.40种 D.20种

10.(2020四川成都高考模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入三个不同的盒子中,若每个盒子放2个小球,其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中,则不同的方法共有(　　)

A.12种 B.16种 C.18种 D.36种

11.如图,∠MON的边OM上有四个点A1,A2,A3,A4,边ON上有三个点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形个数为　　　　. 

12.(2019河北石家庄高二期中)已知有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入五个盒子中,每个盒子内只投放一个球,若至少有两个球的编号与盒子的编号是相同的,则有多少种投放方法?

题组三　排列、组合的综合问题

13.(2019重庆高二期末)我国即将进入双航母时代,航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰,1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队,则不同的组建方法种数为(　　)

A.30 B.60

C.90 D.120

14.(2020黑龙江牡丹江一中高二期末)第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行,某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式种数为(　　)

A.60          B.90

C.120  D.150

15.(2019四川成都棠湖中学高三期中)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A、B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排方式种数为(　　)

A.6 B.12

C.16 D.18

16.(2019浙江宁波高三期中)将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学,每名同学至少分到一本,若三名同学所得书的数量各不相同,且甲同学分到的书比乙同学的多,则不同的分配方法种数为(　　)

A.1 344 B.1 638

C.1 920 D.2 486

17.(2019重庆巴蜀中学高二月考)巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲、乙等4名实习老师被分到高二年级的(1),(2),(3)三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每名实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二(1)班,乙必须去高二(3)班实习的概率为(　　)

A. B.

C. D.

18.(2019浙江杭州学军中学高二月考)某学校要安排2名高二的同学,2名高一的同学和1名初三的同学去五个乡村小镇A、B、C、D、E参加志愿活动,每名同学选择一个小镇,若高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D和E,则共有　　　　种不同的安排方法.(用数字作答) 

19.(2019吉林长春高二期中)从1到7的7个数字中任取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.

试问:(1)一共能组成多少个不同的五位偶数?

(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有几个?(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个?(所有结果均用数字表示)

20.(2019广东湛江高二调研)某次会议期间,组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位,每个岗位至少有一人参加,且五人均能胜任这四个岗位.

(1)若每人不准兼职,则不同的分配方案有几种?

(2)若甲、乙被抽调去别的地方,剩下的三人要求每人必兼两职,则不同的分配方案有几种?

能力提升练

题组一　组合数与组合数公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(多选)(2020山西大同高二期末,)若=,则x的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

2.(2019江苏启东中学高一期中,)计算:+++++…++=　　　　. 

3.(2020江苏南通高二期末,)已知+=,=(n≥2,n∈N+,m∈N+),则 x=　　　　,y=　　　　(结果用n表示). 

4.(2020辽宁沈阳高二期末,)计算:+.

5.()组合数公式的推广:定义=,其中x∈R,m∈N+,且规定=1.

(1)求的值;

(2)设x>0,当x为何值时,函数f(x)=取得最小值?

题组二　组合数的应用

6.(2019河南南阳高二模拟,)安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两名义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址的距离问题,不安排义工A照顾老人甲,不安排义工B照顾老人乙,则安排方法共有(　　)

A.30种 B.40种 C.42种 D.48种

7.(2020河南郑州外国语学校高二模拟,)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了举世瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“任一大于2的偶数都可写成两个素数之和”(注:如果一个大于1的自然数除了1和它本身以外不再有其他因数,那么称这个自然数为素数),如40=3+37.在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数,则这两个数的和等于40的概率是(　　)

A. B. C. D.

8.(2020江西赣州高二期末,)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目,成绩计入高考总分.已知报考某高校A、B两个专业各需要一门科目满足要求即可,A专业:物理、化学、技术;B专业:历史、地理、技术,若考生小李今年打算报考该高校这两个专业,则小李的不同选考方式有　　　　种.(用数字作答) 

9.(2020上海七宝中学高二期末,)在某次数学考试中,学号为i(i=1,2,3,4)的同学的考试成绩f(i)∈{85,87,88,90,93},且满足f(1)≤f(2)<f(3)<f(4),则这四位同学考试成绩的所有可能情况有　　　　种. 

题组三　排列与组合的综合应用

10.(2020黑龙江大庆中学高二期末,)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E、F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有(　　)

A.240种 B.188种

C.156种 D.120种

11.(2019河北石家庄高二期末,)如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种颜色相邻,则不同的涂色方案有(　　)

A.120种 B.240种

C.144种 D.288种

12.(2020河南商丘高二期中,)从射击、乒乓球、跳水、田径四个项目的某届奥运冠军中选出6名做“夺冠之路”的励志报告.若每个项目中至少选派一人,则名额分配情况有　　　 种;若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校做报告,每个院校至少一名冠军,则有　　　种不同的分配方法. 

答案全解全析

3.1.3　组合与组合数

基础过关练

1.C　只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.

2.B　原式=2+3=2×+3×5×4=42+60=102,故选B.

3.D　∵+=+=12+15=27,==35,==42,==21.故选D.

4.B　由组合数公式可知选项A错误;由排列数公式可知选项B正确;由组合数的性质可知+=,则选项C、D均错误.故选B.

5.C　∵>,

∴>

,

∴(n-4)(n-5)<30,∴n2-9n-10<0,解得-1<n<10,由题意,n可取的值是6,7,8,9,共4个,故选C.

6.解析　由=得,n(n-1)(n-2)=,解得n=27.

7.解析　由组合数的性质可得+-=-=-=0.

8.C　任选4人的方法数为,其中全部为男生或全部为女生的方法数为+,故选法总数为--.故选C.

9.C　先给一所学校派3名教师和1名中层干部,有种选派方法,再让剩余的3名教师和1名中层干部去另一所学校,只有1种方法,则共有=40种选派方法,故选C.

10.C　先从三个盒子中选一个放标号为1,2的小球,有3种不同的选法,再从剩下的4个小球中选2个,放入剩下的其中一个盒子有种放法,余下的放入最后一个盒子,则不同的方法共有3=18(种),故选C.

11.答案　42

解析　先从这8个点中任取3个点,有种情况,再减去三点共线的情形即可.故所求三角形个数为--=42.

12.解析　分三类:

第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;

第二类,只有三个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有×1=10(种);

第三类,只有两个球的编号与盒子的编号相同,则球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,剩余的球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有×2=20(种).

根据分类加法计数原理,得所有的投放方法有1+10+20=31(种).

13.D　由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇,3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为×=60,2艘驱逐舰和2艘核潜艇,3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为×=60,则不同的组建方法种数为60+60=120,故选D.

14.D　根据题意,分2步进行分析:

①将5项工作分成3组,

若分成1、1、3的3组,则有=10种分组方法,

若分成1、2、2的3组,则有=15种分组方法,

则将5项工作分成3组,共有10+15=25种分组方法;

②将分好的3组全排列,对应3名志愿者,有=6种情况,

则有25×6=150种不同的安排方式.

故选D.

15.B　若仅有A、B两市代表团入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时共有=6种安排方式;若有A、B两市代表团及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团分别入住b,c宾馆,此时共有=6种安排方式.

综上,不同的安排方式种数为6+6=12,故选B.

16.A　将8本不同的书全部分发给甲、乙、丙三名同学,每名同学至少分到一本,若三名同学所得书的数量各不相同,则有(1,2,5),(1,3,4)两种分组的方法,又甲同学分到的书比乙同学的多,所以当乙分到1本时,不同的分配方法种数为(+)=896,当丙分到1本时,不同的分配方法种数为(+)=448,故所有不同的分配方法种数为896+448=1 344,故选A.

17.A　根据题意,基本事件总数n=×=36,若甲去高二(3)班,则有=2种分配方法,若甲去高二(2)班,有+×=5种分配方法,则甲不去高二(1)班,乙必须去高二(3)班实习的概率P==,故选A.

18.答案　32

解析　若初三学生去小镇A,则从高二学生中选1人去小镇B,另外三人分别去小镇C,D,E,故方法数为=12;若初三学生去小镇B,则从高一学生中选1人去小镇A,另外三人分别去小镇C,D,E,故方法数为=12;若初三学生去小镇C,则从高二学生中选1人去小镇B,从高一学生中选1人去小镇A,另外两人分别去小镇D,E,故方法数为=8.故总的方法数为12+12+8=32.

19.解析　(1)五位偶数共有=576(个).

(2)组成的五位数中,两个偶数排在一起的有=576(个).

(3)两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有=144(个).

20.解析　(1)不同的分配方案有×=240(种).

(2)不同的分配方案有()3-{+[-]}=114(种).

能力提升练

1.AC　因为=,所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=20,所以x=4或x=6,故选AC.

2.答案　1 140

解析　+++++…++

=+++++…++,

∵=-(n≥2且n∈N+),

∴+++…+=+(-)+(-)+…+(-)===1 140.

3.答案　n-2;n-1

解析　+==⇒

⇒x=n-2,=·===⇒⇒

y=n-1.

4.解析　由题意得

解得≤n≤,

又由可得n=10,

∴+=+=+=466.

5.解析　(1)由题意得=

=-680.

(2)由题意得f(x)===.

又x>0,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,

所以当x=时,取得最小值.

6.C　六名义工照顾三位老人,每两名义工照顾一位老人共有=90种安排方法,

其中A照顾老人甲的情况有=30(种),B照顾老人乙的情况有=30(种),

A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有=12(种),

所以符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种),故选C.

7.B　40以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,共12个,任选两个不同的数的方法数为==66,和为40的有3+37=40,11+29=40,17+23=40,共3种,所以在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数,这两个数的和等于40的概率是=.故选B.

8.答案　27

解析　根据题意分情况讨论:当小李选择技术时,两个专业均可报考,再从剩下的六科中选择两科即可,有=15种方法.当小李不选择技术时,可以从物理、化学中选择一科,再从历史、地理选择一科,最后从政治、生物中选择一科,有2×2×2=8种方法;当小李同时选择物理、化学时,还需要从历史、地理中选择一科,有2种方法;当小李同时选择历史、地理时,还需要从物理、化学中选择一科,也有2种方法.

综上,共有15+8+2+2=27种不同的选考方式.

9.答案　15

解析　由题意,分2种情况讨论:

当f(1)=f(2)<f(3)<f(4)时,即从集合{85,87,88,90,93}中任选三个数据从小到大作为f(2), f(3), f(4)的值,有=10种可能的情况;

当f(1)<f(2)<f(3)<f(4)时,即从集合{85,87,88,90,93}中任选四个数据从小到大作为f(1), f(2), f(3), f(4)的值,有=5种可能的情况,

所以一共有10+5=15种可能的情况.

10.D　当E,F排在前三位时,有()=24种安排方案;当E,F排在后三位时,有()()=72种安排方案;当E,F排中间两位时,有()=24种安排方案.

综上,不同的安排方案共有24+72+24=120(种),故选D.

11.D　不考虑红色的位置,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻的涂色方案有()××=432(种).这种情况下,红色在左右两端的涂色方案有()×××=144(种),从而所求的结果为432-144=288种.故选D.

12.答案　10;7 800

解析　名额分配只与人数有关,与不同的人无关.每个项目选派一人,则还剩两个名额,当剩余两人出自一个项目时,名额分配情况有4种;当剩余两人出自不同项目时,名额分配情况有=6(种),所以共有4+6=10种名额分配情况. 从5个院校中选4个作报告,将6名冠军先组合,再进行排列,则有××=7 800种分配方法.