高中数学人教版新课标A选修2-31.2排列与组合免费课堂检测

1.2　排列与组合

1.2.1　排列

基础过关练

题组一　排列的相关概念

1.下列问题中,是排列问题的是(　　)

A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数

B.从40名学生中选出5名组成校篮球队

C.从100件产品中选出2件进行抽样调查

D.从1,2,3,4,5中选出2个数组成集合

2.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆+=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线-=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?

上面四个问题属于排列问题的是(　　)

A.①②③④  B.②④   C.②③   D.①④

3.某药品研究所研制了5种消炎药a1,a2,a3,a4,a5,4种退热药b1,b2,b3,b4,现从中取2种消炎药和1种退热药同时进行疗效试验,但a1,a2两种药或同时用或同时不用,a3,b4两种药不能同时使用,试写出所有不同的试验方法.

4.下列问题是排列问题吗?

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);

(2)某班40名学生在假期相互写信;

(3)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法?

(4)平面上有5个点,其中任意3个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?可确定多少条射线?

题组二　排列数与排列数公式

5.不等式<6的解集为(　　)

A.[2,8]   B.[2,6]   C.(7,12)   D.{8}

6.(2019福建福州高二下学期期末联考)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)(x∈N*,且x>15)可表示为(　　)

A.    B.   C.  D.

7.(2019广东潮州高二下学期期末)已知=10,求n的值.

8.求证:-=m.

题组三　排列的应用

9.(2019陕西黄陵中学高二下学期期末)用数字1,2,3,4组成没有重复数字的两位数的个数为(　　)

A.6    B.12    C.16   D.20

10.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有(　　)

A.280种   B.240种

C.180种   D.96种

11.(2019河南驻马店高二下学期期末)某小区的6个停车位连成一排,现有3辆车随机停放在停车位上,则任意两辆车都不相邻的停放方式的种数为(　　)

A.24   B.72  C.120  D.144

12.(2019重庆高三下学期第三次诊断性考试)山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法有多少种?

13.(2019北京西城高二下学期期末考试)若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照,则其中任意2名教师不相邻的站法有多少种?

14.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相,其中有3位老者与2位年轻人.

(1)若3位老者要按年龄从大到小的顺序出场,那么出场顺序有多少种?

(2)若3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从大到小的顺序出场,那么出场顺序有多少种?

能力提升练

一、选择题

1.(2019湖南长沙周南中学高三第三次模拟,★★☆)元旦晚会期间,高三(2)班的学生准备了6个节目,其中有2个舞蹈节目,2个小品节目,2个歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外,2个舞蹈节目一定要排在一起,则这6个节目的不同编排种数为(　　)

A.48 B.36 C.24 D.12

2.(2019辽宁抚顺德才高级中学高二下学期期中,★★☆)5名男生与2名女生排成一排照相,如果男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,那么符合条件的排法共有(　　)

A.48种 B.192种 C.240种 D.288种

3.(2019陕西西安高二下学期期末考试,疑难3,★★☆)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场诗词的排法有(　　)

A.288种 B.144种 C.720种 D.360种

4.(2019甘肃嘉峪关酒钢三中高二下学期期中,★★☆)五个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为(　　)

A.     B.4

C.-  D.+

5.(2019山东枣庄第八中学高二下学期期末,★★☆)6名同学被安排到A,B,C三个社区参加志愿者服务,每个社区安排2名同学,其中甲同学必须到A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法种数为(　　)

A.5 B.6 C.9 D.12

6.(2019安徽滁州定远民族中学高二期中,★★☆)在实验员进行的一项实验中,先后要实施5个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序C和D实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(　　)

A.15种 B.18种 C.24种 D.44种

7.(★★☆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A.120   B.72    C.168   D.144

8.(★★★)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子的方式来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,若掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去,则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法有(　　)

A.22种 B.24种 C.25种 D.27种

二、填空题

9.(★★☆)用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字,且至少有一个数字是奇数的三位偶数,这样的三位数一共有　　　　个. 

10.(★★☆)安排5名歌手的演出顺序时,要求甲歌手不第一个出场,另一名歌手乙不最后一个出场,不同的排法种数是　　　　.(用数字作答) 

三、解答题

11.(2019河南南阳第一中学高二下学期期末,★★☆)(1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有多少种?

(2)把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有多少种?

答案全解全析

基础过关练

1.A　选项B,C,D中只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关,不是排列问题.选项A中组成的三位数与三个数字的排列顺序有关,是排列问题,故选A.

2.B　∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如≠,∴②是排列问题;若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,即a,b的大小一定;在双曲线 - =1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故③不是排列问题,④是排列问题.故选B.

3.解析　所有不同的试验方法有a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2,a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共14种.

4.解析　(1)来回的票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.

(2)学生A给学生B写信与学生B给学生A写信是不同的,所以存在着顺序问题,是排列问题.

(3)第一问中任选3个座位,与顺序无关,不是排列问题,第二问中选3个座位安排三位客人,与顺序有关,故是排列问题.

(4)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.

5.D　由<6,得<6×,

化简得x2-19x+84<0,

解得7<x<12,①

又所以2<x≤8,②

由①②及x∈N*,得x=8.故选D.

6.B

= = = = ,

故选B.

7.解析　∵=10,n≥3,且n∈N*,

∴2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),

∴2(2n-1)=5(n-2),解得n=8.

8.证明　因为-

= -

=·

=·

=m·=m,

所以-=m.

9.B　根据题意,一共有=4×3=12个不同的两位数.

10.B　根据题意,在除甲、乙以外的4人中选出1人从事翻译工作,有种可能方案,其余三项工作,从剩余的5人中选取,有种可能方案,根据分步乘法计数原理,选派方案共有=4×5×4×3=240(种),故选B.

11.A　任排3个空停车位,形成4个空,再将3辆车插空即可,故不同的停放方式有=24(种).

12.解析　由题意知A,B两型号的种子的试种方法数为2×2=4,所以一共有4=24种试种方法.

13.解析　首先将4名演讲比赛获奖学生全排列,有=24种站法,站好后有5个空位,在其中选三个空位,安排指导教师,有=60种站法,则有24×60=1 440种符合题意的站法.

14.解析　(1)第一步排年轻人,共有种排法,第二步排3位老者,只有一种排法,故出场顺序有×1=20(种).

(2)第一步排年轻人,当年轻人也按年龄从大到小的顺序出场时,共有=10种排法,第二步排3位老者,只有一种排法,故出场顺序有10×1=10(种).

能力提升练

一、选择题

1.C　分3步进行:①歌曲节目排在首尾,有=2种排法;

②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间,有=2种排法;

③排好后,2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位,将2个舞蹈节目全排列,安排在中间的3个空位,有=6种排法.

则这6个节目的不同编排种数为2×2×6=24,故选C.

2.B　甲站好中间的位置,2名女生必须相邻,有4种排法,2名女生可以交换位置,剩下的4名男生站在剩下的4个位置,有种排法,所以符合条件的排法共有4×2×=192(种),故选B.

3.B　分2步进行分析:

①将《将进酒》《望岳》和另外两首诗词全排列,有=24种排法,

∵《将进酒》排在《望岳》的前面,∴这4首诗词的排法有=12(种);

②这4首诗词排好后,除去最后的空位外,有4个空位,在4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,有=12种排法,则后六场诗词的排法有12×12=144(种),故选B.

4.C　此题可以从反面入手:甲、乙两人没有人在两端,即甲、乙排在中间三个位置,有种排法,剩下三人随便排即可,则有种排法,因为五个人排成一排一共有种排法,所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为-,故选C.

5.C　由题意将问题分为两类求解:第一类,若乙与丙其中一个在A社区,则安排方法种数为×=6;第二类,若乙与丙在B社区,则从剩下三人中选一人去A社区,另两人去C社区,安排方法种数为=3,故不同的安排方法种数是6+3=9,故选C.

6.C　程序A只能出现在第一步或最后一步,共有2种不同的排法;将程序C和D捆绑成一个元素,再和其他两个元素一起排列,有种不同的排法,同时,考虑程序C和D有2种不同的排法.根据分步乘法计数原理,共有2××2=24种不同的编排方法,故选C.

7.A　分2步进行分析:(1)先将3个歌舞类节目全排列,有=6种情况,排好后,有4个空位,(2)因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分为2种情况:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72,则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选A.

8.D　由题意知正方形ABCD的周长是8,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次掷骰子的点数之和是8,16,列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125,134,116,224,233,466,556,共7种组合,前2种组合125,134,每种情况可以排列出=6种,则不同走法有2=2×6=12(种);116,224,233,466,556各有3种情况,则不同走法有5×3=15(种),根据分类加法计数原理,共有12+15=27种不同走法,故选D.

二、填空题

9.答案　54

解析　当个位是偶数时,共有=60种可能,当三个数字都是偶数时,有=6种可能,则满足题意的三位数共有60-6=54个,故答案为54.

10.答案　78

解析　当甲在最后一个位置时,乙在剩下的位置中任意选择,方法种数为=24,当甲不在第一个和最后一个位置时,甲有3种选择,乙也有3种选择,剩下的人全排列,方法种数为3×3×=54,则不同的排法种数是54+24=78.故答案为78.

三、解答题

11.解析　(1)当甲在最左端时,有=120种排法;当甲不在最左端时,乙必须在最左端,且甲也不在最右端,有=4×24=96种排法,共有120+96=216种排法.

(2)根据题意,产品A与产品B相邻,将A、B看成一个整体,考虑A、B之间的顺序,有=2种情况,将这个整体和除产品C外剩余的2件产品全排列,有=6种情况,产品A与产品C不相邻,C有3个空位可选,即有3种情况,不同的摆法共有2×6×3=36(种).