数学选修2-31.3二项式定理免费随堂练习题

1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质

基础过关练

题组一　“杨辉三角”的应用

1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b=(　　)

A.20   B.21

C.22    D.23

2.下图中的数满足:①第n行首尾两数均为n;②图中的递推关系与杨辉三角类似,则第n(n≥2)行的第2个数是　　　　. 

1

2　2

3　4　3

4　7　7　4

 5 11 14 11 5

……

3.我们可以从杨辉三角中发现下列的等式:

第1行:100·1=1;

第2行:101·1+100·1=11;

第3行:102·1+101·2+100·1=121;

第4行:103·1+102·3+101·3+100·1=1 331;

第5行:104·1+103·4+102·6+101·4+100·1=14 641.

那么由此归纳:第n行的等式等号右边的数为　　　. 

4.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 

1

1　1

1　2　1

1　3　3　1

1　4　6　4　1

1　5 10 10 5　1

……

5.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,……,第n次全行的数都为1的是第　　　　行;第61行中1的个数是　　　　. 

题组二　二项式系数的性质

6.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是(　　)

A.n,n+1  B.n-1,n    C.n+1,n+2   D.n+2,n+3

7.(2019黑龙江省实验中学高二期末)的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是(　　)

A.56  B.35  C.-56 D.-35

8.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(　　)

A.29   B.210  C.211   D.212

9.下列关于(a-b)10的说法,错误的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和是1 024

B.展开式中的第6项的二项式系数最大

C.展开式中的第5项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中的第6项的系数最小

10.(2019河北张家口高二下学期期末)设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若|a1|+|a2|+…+|an|=127,则展开式中二项式系数最大的项为(　　)

A.第4项           B.第5项

C.第4项和第5项  D.第7项

11.(2019山西长治第二中学高二下学期期末)若的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为(　　)

A.-240 B.-160 

C.160    D.240

12.(2019福建莆田一中高二期中)已知(a+b)n的展开式中第三项与第二项的二项式系数比为11∶2,则n为　　　　. 

13.(2019四川广安第二中学高二下学期第二次月考)若的展开式中前三项的系数之和为15.

(1)展开式中是否有常数项?说明理由;

(2)求展开式中系数最大的项.

14.若(n∈N*)的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项,求第5项.

15.(2019重庆高二期末)已知的展开式中,各项系数之和为243,其中实数a为常数.

(1)求a的值;

(2)求展开式中二项式系数最大的项.

16.(2019福建三明高二期末)在(n∈N*)的展开式中,所有的二项式系数和为256.

(1)求展开式中最大的二项式系数;

(2)求展开式中所有有理项中系数最小的项.

17.已知(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和;

(2)求展开式中含的项;

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)已知(n∈N*)的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,记展开式中系数最大的项为第k(k∈N*)项,则k=(　　)

A.6 B.7 C.6或7  D.5或6

2.(2019贵州铜仁第一中学高二上学期期中,★★☆)在(x-1)n(n∈N*)的展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则的展开式中的常数项为(　　)

A.960   B.1 120   C.-560   D.-960

3.(★★☆)已知(a>0,n∈N*)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大,且展开式中x2项的系数为84,则a的值为(　　)

A.2 B.1 C.    D.

4.(★★☆)的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中有理项的个数为　(　　)

A.7 B.5 C.4 D.3

二、填空题

5.(2019江西南昌二中高二期末,★★☆)“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示,去除所有为1的项,将剩余的项依次排列,构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前46项和为　　　　. 

6.(★★☆)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10.若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N)是一个单调递增数列,则k的最大值是　　　　. 

7.(★★☆)已知的展开式中各项系数的和为-1,则该展开式中系数最大的项为　　　　. 

8.(2019云南峨山一中高二下学期月考,★★☆)已知(a,n∈N*)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大,且含x4的项的系数为40,则a的值为　　　　. 

9.(★★☆)的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是　　　　. 

10.(2019福建厦门高二期末,★★★)杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,记作数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则S68=　　　　. 

三、解答题

11.(2019湖北武汉高二期末,★★☆)已知.

(1)求展开式中的常数项;

(2)设展开式中系数最大的项为mxt,求t的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.

2.答案　+1

解析　由题图中数字规律可知,第n(n≥2)行的第2个数是1+2+3+…+(n-1)+1=+1.

3.答案　11n-1

解析　由题意可得:10n-1·+10n-2·+…+101·+100·=(10+1)n-1=11n-1.

4.答案　34

解析　∵在第n行中,即(a+b)n的展开式中第14个与第15个二项式系数分别为和,∴∶=2∶3,即 = ,

∴n=34.

5.答案　2n-1;32

解析　观察分析可得第1行,第3行,第7行,第15行,全行都为1,故第n次全行的数都为1的是第(2n-1)行;当n=6时,26-1=63,故第63行共有64个1,逆推知第62行共有32个1,第61行共有32个1.

6.C　2n+1为奇数,展开式中中间两项的二项式系数最大,分别为第项,第项,即第(n+1)项与第(n+2)项,故选C.

7.C　由于其展开式中只有第5项的二项式系数最大,所以展开式项数为9,从而n=8,所以该式为,其展开式的通项为Tr+1=·x8-r·=·(-1)r·x8-2r(r=0,1,2,…,8),令8-2r=2,得r=3,则展开式中含x2项的系数为×(-1)3=-56,故选C.

8.A　∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,

∴=,则n=3+7=10,∴(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29,故选A.

9.C　由二项式系数的性质知+++…+=210=1 024,故A中说法正确.二项式系数的最大值为,是展开式的第6项的二项式系数,故B中说法正确,C中说法错误.由展开式的通项为=(-b)k=(-1)k·bk知,第6项的系数-最小,故D中说法正确,故选C.

10.C　令x=0,可得a0=1,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=2n,

因为|a1|+|a2|+…+|an|=127,所以2n=128,所以n=7,

又因为=,所以其展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项,故选C.

11.D　由已知得,2n=64,所以n=6,所以其展开式的通项为Tr+1=(x2)6-r=(-2)rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,所以展开式的常数项为T5=(-2)4=240,故选D.

12.答案　12

解析　(a+b)n的展开式中第三项与第二项的二项式系数分别为、,

由题意可得===,因此,n=12,故答案为12.

13.解析　(1)展开式中无常数项,理由如下:该式展开式的通项为Tr+1=xn-r=(-1)r(r=0,1,2,…,n),由已知得,1-+=15,解得n=7或n=-4(舍去),

所以Tr+1=(-1)r(r=0,1,2,…,7),因为7-=0无整数解,所以展开式中无常数项.

(2)由通项Tr+1=(-1)r知,展开式中各项系数的绝对值即二项式系数,所以展开式中的第5项为系数最大的项,即T5=35x.

14.解析　依题意,当n为偶数时,只有第10项的二项式系数最大,即+1=10,n=18,此时T5=()14=3 060x4.

当n为奇数时,第10,11项的二项式系数最大或第9,10项的二项式系数最大,即=10或=9,解得n=19或n=17,

当n=19时,T5=()15=3 876;

当n=17时,T5=()13=2 380.

综上,当n=18时,第5项为3 060x4;当n=19时,第5项为3 876;当n=17时,第5项为2 380.

15.解析　(1)令x=1,则有(2-a)5=243,解得a=-1.

(2)的展开式的通项为Tr+1=·(2x)5-r=25-rx5-2r(r=0,1,2,3,4,5),

各项的二项式系数分别为,,,,,,

其中=均为最大,故所求项为第3项T3=(2x)3=80x和第4项T4=(2x)2=.

16.解析　(1)依题意得+++…+=2n=256,所以n=8,所以最大的二项式系数为=70.

(2)该式展开式的通项为Tr+1=x8-r·=(-1)r(r∈N,0≤r≤8),

则当r取值为0,4,8时,Tr+1为有理项.

即有理项为T1=x8,T5=x3,T9=,

故所有有理项中系数最小的项为.

17.解析　由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,

化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).

(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.

(2)展开式的通项为Tr+1=()8-r·=(-2)r(r=0,1,2,…,8),

令4- = ,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.

(3)设展开式中的第r项,第(r+1)项,第(r+2)项的系数绝对值分别为·2r-1,·2r,·,若第(r+1)项的系数绝对值最大,

则解得5≤r≤6.

又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792.

由n=8知第5项的二项式系数最大,此时T5=1 120x-6.

能力提升练

一、选择题

1.B　因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,即=,

所以n=4+7=11,第(r+1)项的系数为·(-1)r,当r=6时,该值最大,故展开式中系数最大的项为第7项,故选B.

2.B　在(x-1)n(n∈N*)的展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则n=8,

则=的展开式的通项为Tr+1=··(-1)r·x4-r(r∈N,0≤r≤8),令4-r=0,得r=4,可得展开式中的常数项为·24·(-1)4=1 120,故选B.

3.B　∵(a>0,n∈N*)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大,∴n=9,

又∵的展开式的通项为Tr+1=a9-r=a9-r(r=0,1,2,…,9),

令=2,得r=3,∵展开式中x2项的系数为84,∴a6=84,解得a=1或a=-1(舍去),故选B.

4. A　∵的展开式中只有第11项的二项式系数最大,

∴n=20,

∴的展开式的通项为Tr+1=·(x)20-r=()20-r,

展开式中的有理项满足20-=k(k∈Z,0≤r≤20,r∈N),

据此可得,r可能的取值为0,3,6,9,12,15,18,共有7个,故选A.

二、填空题

5.答案　2 037

解析　由题意可知,(a+b)n的展开式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第(n+1)行,

则“杨辉三角”中第(n+1)行各项之和为2n,

∴第(n+1)行去掉所有为1的项的各项之和为2n-2,从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为1,2,3,4,…,

又1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,则到第11行结束,数列共有45项,

∴第46项为第12行第1个不为1的数,即=11,

∴前46项的和为21-2+22-2+23-2+…+210-2+11=2 037.

6.答案　6

解析　由二项式定理,得a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,a6=,a7=,……,a10=,a11=,易知a1<a2<a3<a4<a5<a6,且a6>a7>a8>a9>a10>a11,若数列a1,a2,…,ak单调递增,则k的最大值为6.

7.答案　80x-3

解析　令x=1,则(1+a)5=-1,∴a=-2.

又的展开式的通项为Tr+1=x5-r·=(-2)rx5-2r,

∴当r=4时,该项的系数最大,最大的项为(-2)4x-3=80x-3.

8.答案　2

解析　由已知得n=5,∴含x4的项的系数为a2=40,∵a∈N*,∴a=2.

9.答案　7 920

解析　因为的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,所以展开式共有13项,即n=12,则的展开式的通项为Tk+1=()12-k=(-2)k·(k=0,1,2,…,12),令6-k=0,得k=4,

即展开式中的常数项是T5=(-2)4=7 920.

10.答案　2 059

解析　将数列{an}中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角形数阵,如下所示:

使得每行的序数与该行的项数相等,则第k行最后一项在数列{an}中的项数为.

设a68位于第k(k∈N*)行,则<68≤,解得k=12,又第11行最后一项在数列{an}中的项数为=66,所以a68位于杨辉三角形数阵的第12行第2个,

第一行各项和为1=20,第二行各项和为2=21,第三行各项的和为4=22,依此类推,第k行各项的和为2k-1,

因此,S68=20+21+22+…+210++=+1+11=211-1+1+11=211+11=2 048+11=2 059,故答案为2 059.

三、解答题

11.解析　(1)其展开式的通项为Tr+1=·(2x2)12-r=212-rx24-3r(r=0,1,2,…,12),令24-3r=0,得r=8,所以展开式中的常数项为24=7 920.

(2)设展开式中系数最大的项是Tr+1,则解得≤r≤,

又r∈N*,∴r=4,∴T5=28x12,∴t=12.