高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算第2课时课时练习

五　补集及综合应用

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·北京高一检测)已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则U＝(　　)

A．{1，3，4}    B．{3，4}    C．    D．

【解析】选D.由题意，全集U＝，A＝，B＝，

可得A∪B＝{1，2，3}，所以U＝.

2．若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝，N＝，则U＝(　　)

A．       B．

C．     D．

【解析】选C.x2－4x＋3＝0的解为x＝1或3，所以M＝{1，3}，因为x2－5x＋6＝0的解为x＝2或3，所以N＝{2，3}，所以M∩N＝{3}，

所以U＝{1，2，4}．

3．设全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则A∩＝(　　)

A．     B．

C．     D．

【解析】选D.因为全集U＝R，集合B＝，UB＝，

且集合A＝，

所以A∩＝.

【补偿训练】

已知R为实数集，集合A＝，B＝{x|x≥2}，则∩A＝(　　)

A．(1，2)      B．(1，2]

C．(－∞，1]     D．[2，＋∞)

【解析】选A.因为B＝，

所以RB＝，

所以(RB)∩A＝.

4．(2021·周口高一检测)设U＝R，A＝，UA＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．

【解析】因为U＝R，A＝，所以UA＝或.

又UA＝或，所以a＝3，b＝4.

答案：3　4

5．已知集合A＝(－∞，a)，B＝(1，2)，A∪(RB)＝R，则实数a的取值范围是________．

【解析】因为RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，

又A＝(－∞，a)，观察RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示．可知当a≥2时，A∪(RB)＝R.

答案：[2，＋∞)

6．(2021·镇江高一检测)已知全集U＝，集合A＝，B＝.

(1)求A∩B，(UA)∩(UB)；

【解析】由A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，得A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}，

由U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，得∩＝U(A∪B)＝{0，5，6，7}

 (2)集合C满足(A∩B)⊆C⊆(A∪B)，请写出所有满足条件的集合C.

【解析】由(A∩B)⊆C⊆(A∪B)，A∩B＝{1，3}，A∪B＝{1，2，3，4}

得C＝{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}．

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．设U＝R，N＝{x|－2＜x＜2}，M＝{x|a－1＜x＜a＋1}，若UN是UM的真子集，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1＜a＜1     B．－1≤a＜1

C．－1＜a≤1     D．－1≤a≤1

【解析】选D.因为UN是UM的真子集，

所以M是N的真子集，

所以a－1≥－2且a＋1≤2，解得－1≤a≤1.

2．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为(　　)

A.(UA))∩(UB)　　　 B．(UA)∪(UB)

C．(UB)∩A       D．(UA)∩B

【解析】选C.图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用(UB)∩A表示．

3．设全集为R，集合A＝，B＝，则A∩＝(　　)

A．      B．

C．     D．

【解析】选A.由题意得RB＝{x|x<2}∪{x|x>2，且x∉N}，所以A∩＝{0，1}．

4．设集合U＝，A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为(　　)

A．2    B．6    C．4    D．8

【解析】选B.因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，3，5}，所以A∩B＝{2，5}．因为图中阴影部分表示的集合为U(A∩B)＝{1，3，4}，所以图中阴影部分表示的集合的非空真子集的个数为23－2＝6.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2021·曲阳高一检测)已知集合A＝，B＝，则(　　)

A．A∩B＝    B．A∩B≠∅

C．A∪B＝    D．A∪(RB)＝R

【解析】选ABD.因为A＝，B＝＝，RB＝，

所以A∩B＝，

A∩B≠∅，A∪(RB)＝R.

6．设全集U＝，A＝，UA＝，则a可以取的值是(　　)

A．2    B．8    C．－2    D．－8

【解析】选AB.因为A∪＝U，所以A＝，所以＝3，解得a＝2或8.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2021·重庆高一检测)设全集为R，集合A＝，B＝，则(RA)∪B＝________．

【解析】由题意RA＝{x|x<0}，所以(RA)∪B＝{x|x<1}．

答案：{x|x<1}

【补偿训练】

已知全集U＝R，集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，且A⊆UB，则a的取值范围为________．

【解析】B＝{x|x－a≥0}＝{x|x≥a}，所以UB＝{x|x<a}，因为A⊆UB，如图所示，可得：a>3.

答案：a>3

8．已知两个关于x的一元二次方程x2－2x＋7－a＝0，ax2－4x＋1＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值集合为________．

【解析】当两个一元二次方程都没有实根时，需满足解得4<a<6，所以至少有一个方程有实数根时，a≤4(a≠0)或a≥6.

答案：{a|a≤4或a≥6，且a≠0}

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(UA)∪B＝{1，3，4，5}，求m＋n的值．

【解析】因为U＝{1，2，3，4，5}，(UA)∪B＝{1，3，4，5}，所以2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，

所以2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，

得m＝6且A＝{2，3}，

所以UA＝{1，4，5}．

而(UA)∪B＝{1，3，4，5}，

所以3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，所以3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，所以n＝－7且B＝{3，4}，

所以m＋n＝－1.

10．(2021·天津高一检测)已知集合A＝，B＝，

C＝.

(1)求(RA)∩B；

【解析】因为A＝，

则RA＝{x|x<－3或x>6}，

故(RA)∩B＝{x|x<－3或x>6}∩{x|x<4}＝{x|x<－3} .

(2)若A⊆C，求实数m的取值范围．

【解析】因为C＝且A⊆C，

则，

得<m<2，

所以m的取值范围为<m<2.

【补偿训练】

已知全集U＝R，集合A＝(2，9)，

B＝[－2，5].

(1)求A∩B，B∪(UA).

【解析】全集U＝R，集合A＝(2，9)，

B＝[－2，5].则UA＝(－∞，2]∪[9，＋∞)，

那么A∩B＝(2，5]，B∪(UA)＝(－∞，5]∪[9，＋∞).

(2)已知集合C＝[a，a＋2]，若C⊆(UB)，求实数a的取值范围．

【解析】集合C＝[a，a＋2]，B＝[－2，5].

则UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，

因为C⊆(UB)，所以需满足：a＋2＜－2或a＞5，故得：a＜－4或a＞5，

所以实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(5，＋∞).

【应用创新练】

1．设全集U＝R，对集合A，B，定义：A－B＝A∩RB，AΔB＝∪.若集合A＝，B＝，求A－B，AΔB.

【解析】RB＝{x|x<3或x>7}，

A－B＝A∩RB＝，

RA＝{x|x≤1或x>5}，

B－A＝B∩RA＝{x|5<x≤7}，

AΔB＝{x|1<x<3或5<x≤7}．

2．已知关于x的方程x2－ax＋b＝0的两根为p，q，方程x2－bx＋c＝0的两根为r，s，如果p，q，r，s互不相等，设集合M＝{p，q，r，s}，作集合S＝{x|x＝u＋v，u∈M，v∈M，u≠v}；P＝{x|x＝uv，u∈M，v∈M，u≠v}；若已知S＝{5，7，8，9，10，12}，P＝{6，10，14，15，21，35}，求实数a，b，c的值．

【解析】S＝，

P＝，

b＝pq＝r＋s，因此b∈S，且b∈P，

所以b∈(S∩P)＝，

即b＝10又a＝p＋q，

因此＋＋＋＋＋＝3＝3，

即a＋b＝p＋q＋r＋s

＝×

＝17，

所以a＝7；又c＝rs，

因此pq＋pr＋ps＋qr＋qs＋rs＝pq＋＋rs＝b＋ab＋c，

即b＋ab＋c＝6＋10＋14＋15＋21＋35＝101，

所以c＝21.