初中人教版15.3 分式方程练习题

专题15.3 分式方程

典例体系（本专题共58题25页）

一、知识点

分式方程

1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程

2.解分式方程的步骤：

（1）能化简的先化简

（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

（3）解整式方程，得到整式方程的解。

（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）

①       审—仔细审题，找出等量关系。

②       设—合理设未知数。

③       列—根据等量关系列出方程（组）。

④       解—解出方程（组）。注意检验

⑤       答—答题。

二、考点点拨与训练

考点1:解分式方程

典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）解下列方程

（1）；

（2）．

方法或规律点拨

本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根，则分式方程无解．

巩固练习

1．（2020·河南孟津·期中）将方程去分母化简后，得到的方程是（    ）

A．x﹣4＝3﹣2 B．x﹣4＝3﹣2x+1

C．x﹣4＝3﹣2x+2 D．x﹣4＝3﹣2x﹣2

2．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）方程＝的解为(   )

A．x＝3 B．x＝4 C．x＝5 D．x＝﹣5

3．（2019·广东郁南·月考）把分式方程 + 2 =化为整式方程，得（　　）

A．x+2=2x（x+2） B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）

C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2） D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）

4．（2019·广西玉林·期末）解分式方程，分以下四步，其中错误的一步是(    )

A．方程两边各分式的最简公分母是

B．方程两边都乘以，得整式方程：

C．解这个整式方程，得

D．原方程的解为

5．（2020·甘肃七里河·期末）解分式方程：．

6．（2020·江苏丹阳·期末）（1）        

（2）

7．（2020·河南孟津·期中）解方程：+＝1．

8．（2020·江西寻乌·期末）解方程：

9．（2020·广西其他）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中的值：．

10．（2020·辽宁灯塔·期末）解方程：＝1+．

11．（2020·广西其他）解方程：．

12．（2020·吉林期末）解方程：．

13．（2020·安徽临泉·期末）解分式方程：．

考点2：根据分式方程解得情况求参数取值

典例：（2020·安徽全椒·初二）若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．

方法或规律点拨

此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

巩固练习

1．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）若数 a使关于 x的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组恰 好有两个奇数解，则符合条件的所有整数 a的和是（    ）

A．7 B．5 C．2 D．1

2．（2020·重庆北碚·西南大学附中期末）若整数使得关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）

A．6 B．9 C．13 D．16

3．（2020·陕西横山·期末）关于的分式方程解为，则常数的值为（    ）．

A． B． C． D．

4．（2020·山东青州·期中）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）

A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3

5．（2020·山东博山·二模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（ ）

A．m＜ B．m＜且m≠

C．m＞﹣ D．m＞﹣且m≠﹣

7．（2020·湖北荆门·初三学业考试）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ）

A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定

8．（2020·陕西城固·初二期末）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是(　　)

A．且 B． C．且 D．且

9．（2020·甘肃其他）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.

10．（2020·景泰县第四中学期末）若关于若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是___．

11．（2020·扬州市梅岭中学月考）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．

12．（2020·福建省泉州实验中学期末）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为__．

13．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）若方程的解小于零，则a的取值范围是__________．

14．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．

15．（2020·四川郫都·期末）若方程的根为负数，则k的取值范围是______。

16．（2019·张掖市育才中学期末）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是_________．

17．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，则m的取值范围是_____．

18．（2020·四川巴中·初二期末）关于x的分式方程有一个正数解，则a的取值范围是___________

考点3：列分式方程

典例：（2020·云南昆明·其他）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了，结果提前天完成，设施工队原计划每天铺米，则下列方程正确的是（  ）

A． B．

C． D．

方法或规律点拨

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

巩固练习

1．（2020·景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（     ）

A． B． C． D．

2．（2020·江西寻乌·期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为

A． B．

C． D．

3．（2020·河北灵寿·期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A．-=20 B．-=20 C．-= D．=

3．（2020·广东深圳·其他）某口罩生产企业最近要紧急完成1000万只口罩生产的任务，在生产完400万只口罩后，新的生产线安装完毕，可以加入生产了；新的生产线加入后，每天口罩的生产总量比原来增加了，结果共用了8天完成了任务设新生产线加入前，每天生产口罩万只，则根据题意可得方程为（    ）

A． B．

C． D．

4．（2020·安徽临泉·期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（　　）

A． B． C． D．

5．（2020·福建省泉州实验中学期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（ ）

A． B．

C． D．

6．（2020·河南遂平·期中）某煤矿原计划x天生存120 t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3 t，因此提前2天完成，列出的方程为(   )

A． B．

C． D．

7．（2020·广西百色·期末），两地航程为48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程（    ）

A． B．

C． D．

8．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ）

A． B．

C． D．

9．（2020·四川巴州·期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·广东禅城·期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果轮船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（   ）

A． B．

C． D．

11．（2020·四川南江·期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

12．（2021·浙江瑞安·开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

13．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程______．

14．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．

15．（2018·河北邢台·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据题意，得方程_____．

16．（2020·北京海淀·人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为千米/时，则可列方程为______．

17．（2020·四川开江·期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000 个口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程_________________．

考点4：分式方程应用题

典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多元，请解答下列问题：

求购进的第一批医用口罩有多少包；

政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致.若售完这两批口罩的总利润不高于元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？

方法或规律点拨

此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．

巩固练习

1．（2019·河北南宫·期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米．甲同学先步行400米，然后乘公交车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．

（1）求乙骑自行车的速度；

（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

2．（2020·广西右江·一模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．

(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？

(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

3．（2019·四川南充·一模）某水果经销商看准商机，第一次用元购进某种水果进行销售，销售良好，于是第二次用了元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了，所购数量比第一次购进数量的倍还多千克．

（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？

（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品相下降，最后千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后千克九折售出，若售完这两批水果的毛利不低于元，则每千克开始售价至少为多少元？

4．（2019·广东潮州·其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．

(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?

(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?

5．（2020·海东市教育研究室期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．

（1）求第一批枇杷的每箱进价．

（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？

6．（2020·广西其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．

（1）第一批荔枝每件进价是多少元？

（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？

7．（2020·江西寻乌·期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟

（1）由此估算这段路长约____千米；

（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值