2021学年3.2 函数的基本性质教学设计

3.2.2　奇偶性

(教师独具内容)

课程标准：1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，并会用符号语言描述.2.了解奇偶函数的图象特征，会判断简单函数的奇偶性．

教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数，偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性．

教学难点：1.函数的奇偶性与单调性结合问题.2.函数奇偶性的判定.

【知识导学】

知识点一　　　偶函数、奇函数的定义

(1)偶函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．

(2)奇函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．

知识点二　　　偶函数、奇函数的图象特征

(1)偶函数的图象特征

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

(2)奇函数的图象特征

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

【新知拓展】

(1)奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．

(2)定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．

(3)对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(4)有的函数既不是奇函数，也不是偶函数，如：y＝2x＋1；有的函数是奇函数，但不是偶函数，如：y＝x；有的函数是偶函数，但不是奇函数，如：y＝|x|；有的函数既是奇函数，又是偶函数，如：y＝0(x∈[－1,1])．

(5)常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)奇(偶)函数的定义域都关于原点对称．(　　)

(2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．(　　)

(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数 f(x)一定是奇函数．(　　)

(4)对于奇函数f(x)，一定有f(0)＝0.(　　)

(5)对于函数y＝f(x)，x∈R，若∃x0∈R，使f(－x0)≠f(x0)，则该函数不是偶函数．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)．

(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝________.

(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.

答案　(1)奇　(2)4　(3)－5

题型一  函数奇偶性的判断

例1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x＋1；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；

(4)f(x)＝

[解]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称．

因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．

(2)使函数有意义需满足所以该函数的定义域为{1}，

因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．

(3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称．

因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．

(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x>0时，－x<0，

f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)；

当x<0时，－x>0，

f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)．

综上可知，函数f(x)＝是奇函数．

金版点睛

函数奇偶性判断的方法

(1)定义法

(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中．

(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是I1，I2，在它们的公共定义域上，有如下结论：

　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝(2)f(x)＝0(x∈R)；

(3)f(x)＝2x＋1；(4)f(x)＝.

解　(1)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．

当x>0时，

－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，

当x<0时，

－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(2)∵f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，

∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．

(3)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称．

∵ f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1，

∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，

∴f(x)＝2x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．

(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性.

题型二  奇偶函数的图象及应用

例2　已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．

[解析]　因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．

[答案]　(－2,0)∪(2,5)

[结论探究]　本例条件不变，问题改为比较f(－1)与f(－3)的大小．

解　由例题图象知f(－1)＜0，

f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)．

金版点睛

巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．

(3)函数的单调性与奇偶性的关系

①若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．

②奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等．

　若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－8，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)

A．{x|－2<x<0或x>2}

B．{x|0<x<2或x>4}

C．{x|x<0或2<x<4}

D．{x|x<－2或x>2}

答案　B

解析　当x＝2时，有f(2)＝0，又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致图象，由图象可知，当－2<x－2<0或x－2>2，即0<x<2或x>4时，有f(x－2)>0，故选B.

题型三  利用函数奇偶性求解析式

例3　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．

[解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x)＝x(x＋2)．

故f(x)＝

金版点睛

求函数解析式的注意事项

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．

注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.

　已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．

解　∵当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，

设x<0，则－x>0.

∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.

又∵f(x)是奇函数，

∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．

∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.

故f(x)＝

题型四  函数的奇偶性与单调性的综合应用

例4　(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小；

(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)是偶函数，

所以f(－5)＝f(5)，

因为f(x)在[2,6]上单调递减，

所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)．

(2)因为f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)．

又f(x)在区间[0,2]上单调递减，

所以解得－1≤m<.

即m的取值范围是.

金版点睛

奇偶性与单调性综合问题的两种类型

(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．

①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小．

(2)解不等式

①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；

②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解．

　(1)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．f(－1)<f(3)  B．f(2)<f(3)

C．f(－3)<f(5)  D．f(0)>f(1)

(2)设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．

答案　(1)D　(2)见解析

解析　(1)因为函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，

所以f(－4)<f(－2)⇒f(4)<f(2)．又f(x)在[0,5]上是单调函数．所以f(x)在[0,5]上单调递减，从而f(0)>f(1)．

(2)由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，

a2＋a＋1＝2＋>0，

且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，

所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.

综上，实数a的取值范围是.

1．下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝－|x|   B．y＝2－x

C．y＝   D．y＝－x2＋8

答案　C

解析　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．

2．若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是(　　)

A．x轴   B．y轴

C．直线y＝x   D．不能确定

答案　B

解析　由于f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．

3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　B

解析　由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.

4．奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增，在区间[3,6]上最大值是4，最小值是－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.

答案　－7

解析　∵f(x)是奇函数，且在[3,6]上单调递增，

∴f(3)＝－1，f(6)＝4.

∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.

5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.

(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b；

(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．

解　(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，

g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，

∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4.

(2)f(x)＝x2＋4x＋3的图象关于直线x＝－2对称，因此f(x)在x＝－2时取得最小值－1，在x＝3时取得最大值24.