数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词同步达标检测题

课时分层作业(七)　全称量词与存在量词

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是(　　 )

A．有一个x∈R，使得x2＞3

B．对有些x∈R，使得x2＞3

C．任选一个x∈R，使得x2＞3

D．至少有一个x∈R，使得x2＞3

C　[“∀”和“任选一个”都是全称量词．]

2．下列命题中的假命题是(　　 )

A．∃x∈R，|x|＝0

B．∃x∈R,2x－10＝1

C．∀x∈R，x3>0

D．∀x∈R，x2＋1>0

C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]

3．下列命题中是存在量词命题的是(　　 )

A．∀x∈R，x2＞0

B．∃x∈R，x2≤0

C．平行四边形的对边平行

D．矩形的任一组对边相等

B　[A含有全称量词∀，为全称量词命题，B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B.]

4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　 )

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]

5．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　 )

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．

“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.]

二、填空题

6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________．

存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞1”．]

7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是______．

存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0　[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0.]

8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为________．

{m|m≤－4}　[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4.]

三、解答题

9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

[解]　(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.

(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)是存在量词命题且为真命题．

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．

10．写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；

(2)q：有些梯形的对角线相等．

[解]　(1)﹁p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．

由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．

(2)﹁q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．

[等级过关练]

1．下列命题中正确的个数是(　　 )

①∃x∈R，x≤0；

②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；

③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　 D．3

D　[①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确．故选D.]

2．下列命题的否定是真命题的为(　　)

A．p1每一个合数都是偶数

B．p2两条平行线被第三条直线所截内错角相等

C．p3有些实数的绝对值是正数

D．p4某些平行四边形是菱形

A　[若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即﹁p2，﹁p3，﹁p4均为假命题．]

3．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是________．

∃x＞0，使得x2－x＋3＞0　[命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x＞0，使得x2－x＋3＞0.]

4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．

{a|a≤1}　[存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，

∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]

5．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：每一个素数都是奇数；

(2)p：某些平行四边形是菱形；

(3)可以被5整除的数，末位是0；

(4)能被3整除的数，也能被4整除．

[解]　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．

(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．

(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．

(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题.