数学必修52.4 等比数列课时训练

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1．2＋eq \r(3)与2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1B．－1
C．±1D．2
【解析】 2＋eq \r(3)与2－eq \r(3)的等比中项为G＝±eq \r(2＋\r(3)2－\r(3))＝±1，故选C.
【答案】 C
2．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 015，则公比q的值为( )
A．2B．3
C．4D．8
【解析】 因为a2 016＝8a2 015，
所以a1q2 015＝8a1·q2 014，
解得q＝8.
【答案】 D
3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13eq \f(1,2)是此数列的( )
A．第2项B．第4项
C．第6项D．第8项
【解析】 由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，
可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为eq \f(3,2)的等比数列，其通项an＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1，由－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1＝－13eq \f(1,2)，得n＝4.
【答案】 B
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于( )
A．3B．2
C．1D．－2
【解析】 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
得b＝1，c＝2.
又a，b，c，d成等比数列，即a,1,2，d成等比数列，
所以d＝4，a＝eq \f(1,2)，故ad＝4×eq \f(1,2)＝2.
【答案】 B
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21B．42
C．63D．84
【解析】 ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4aeq \\al(2,7)，则a3＝ .
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得aeq \\al(2,5)＝4·aeq \\al(2,5)q4.
∴q4＝eq \f(1,4)，q2＝eq \f(1,2)，
∴a3＝a1q2＝2×eq \f(1,2)＝1.
【答案】 1
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝ .
【解析】 由已知得eq \f(a10,a3)＝eq \f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
【答案】 3×2n－3
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝ .
【解析】 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
【答案】 27
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq \f(8,27).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－eq \f(16,81)是否为该数列的项？若是，为第几项？
【解】 (1)因为2an＝3an＋1，
所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2,3)，数列{an}是公比为eq \f(2,3)的等比数列，又a2·a5＝eq \f(8,27)，
所以aeq \\al(2,1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，由于各项均为负，
故a1＝－eq \f(3,2)，an＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2.
(2)设an＝－eq \f(16,81)，则－eq \f(16,81)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4，n＝6，所以－eq \f(16,81)是该数列的项，为第6项．
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝eq \f(an＋an＋1,2)，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq \f(\f(an＋an＋1,2)－an＋1,an＋1－an)＝－eq \f(1,2).
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－eq \f(1,2)，
∴bn＝1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1.
[能力提升]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq \f(a6＋a7,a8＋a9)等于( )
A.eq \r(2)＋1B．3＋2eq \r(2)
C．3－2eq \r(2)D．2eq \r(2)－3
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，
则2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a3))＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±eq \r(2).
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋eq \r(2).
所以eq \f(a6＋a7,a8＋a9)＝eq \f(a1q5＋a1q6,a1q7＋a1q8)＝eq \f(1,q2)＝eq \f(1,1＋\r(2)2)＝3－2eq \r(2).
【答案】 3－2eq \r(2)
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2B．1
C.eq \f(1,2)D．eq \f(1,8)
【解析】 法一 ∵a3a5＝aeq \\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(2,\f(1,4))＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，故选C.
法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝eq \f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,2)，故选C.
【答案】 C
3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝ ，d＝ .
【解析】 ∵a2，a3，a7成等比数列，∴aeq \\al(2,3)＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
【答案】 eq \f(2,3) －1
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式. 【导学号：05920070】
【解】 (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，故a1＋1≠0，
由上式易知an＋1≠0，∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.