数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案及反思

这是一份数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算教案及反思，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《导数的运算》教学设计
课时2导数的四则运算法则
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
基本初等函数的导数
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
逻辑推理
【考查内容】
1.基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的应用
2.复合函数导数的求导法则
【考查题型】
填空题、解答题
导数的四则运算法则
数学抽象
逻辑推理
数学运算
简单复合函数的导数
数学抽象
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要知识内容是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则以及复合函数的求导公式,是导数的计算的关键部分,对后面更深刻的研究导数起着至关重要的作用,在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的本质,也给出根据定义求导数的方法.但是,如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往极为复杂和困难,甚至是不可能的.因此,我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则,借助它们来简化导数的运算过程,因此教材直接给出基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决,为以后导数的研究带来方便.
同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题,但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透彻,就得继续研究导数.教材层层深入,由易到难,给我们展示了什么是复合函数,同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生.因此,使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.基本初等函数的导数
2.导数的四则运算法则
3.简单复合函数的导数
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养





二、学情整体分析
知识结构:学生已学习导数的概念和几何意义,了解并掌握运用导数的定义去求函数的导数.
心理特征:高二的学生已经具备了一定自主学习、分析探究问题的能力,让学生自主学习、恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.基本初等函数的导数
2.导数的四则运算法则
3.简单复合函数的导数
【教学目标设计】
1.熟练掌握基本初等函数的导数公式.
2.掌握导数的四则运算法则
3.理解并熟练掌握复合函数的求导法则.
【教学策略设计】
在导数的概念建立之后,引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要求学生注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想.在推导函数导数的过程中,不仅巩固了导数的概念,而且规范了利用导数定义求导数的具体解题的过程,让学生亲身感受导数的意义.在教学中,不仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,更注重它的思想和价值,注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习.遇到推导过程中学生容易犯错的地方,及时予以纠正,展示部分同学自己推导公式的过程,巩固导数的概念.通过学习复合函数的求导法则,让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用,体会导数在现实社会中的应用价值.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.基本初等函数的导数公式.
2.导数的四则运算法则.
3.复合函数的求导法则.
难点:
1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.
2.正确理解复合函数的复合过程,做到不重不漏,熟练正确.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们来复习一下基本初等函数的导数公式表.
【教师听写,学生默背】
生:
1.若为常数,则;
2.若,且,则;
3.,则;
4.,则;
5.,且,则;特别地,若,则;
6.若,且,则;特别地,若,则.
师:求函数的导数的一般方法是什么?
生:(1)求函数的改变量.
(2)求平均变化率.
(3)取极限,得导数.
师:根据我们记忆的基本初等函数的导数公式,我们继续学习导数的四则运算法则.
【设计意图】
复习上节课的知识为了本节课的学习做铺垫,帮助学生确定学习导数四则运算法则的方向.
教学精讲
探究1 函数和(差)的求导法则
师:已知.求和.
生:.
师:令,求.
【教师引导学生用导数的定义求】
生:,得到.
师:猜想与、的导数之间有什么关系?并证明.
生:.
证明:设.




师:请同学们自己猜想并自己验证.
【学生独立实践,教师点拨并给出函数和(差)的求导法则】
[要点知识]
函数和(差)的求导法则
法则1:两个函数和的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差).即:.
推广:.
【设情境 巧激趣】
提出问题引导学生去猜想证明,培养学生思考探索的能力,并且通过证明使学生明白函数和(差)求导法则的由来,有助于学生在理解的基础上掌握法则.
【以学定教】
提出问题引导学生去猜想证明,培养学生思考探索的精神,并且通过证明使学生明白函数和(差)求导法则的由来,有助于学生在理解的基础上掌握法则.
【自主学习】
通关对函数的求导的过程,学生类比,自主探究对函数的差求导.
师:下面我们根据所学看一下例题.
【典型例题】
函数和(差)的求导法则的应用
例1:1.求函数的导数.
2.求函数的导数.
生解:1..
2..
探究2 函数乘变积的求导法则
【情境设置】
探究函数乘积的求导法则
设,计算与,判断是否等于?
师:小组或同桌之间相互讨论,若成立,请说明理由,若不成立,也请说明理由.
生:不成立,因为,而,所以.
师:与、及其导数之间有什么关系?
师:小组或同桌之间相互讨论,师适当引导学生将进行分解成与、、、有关的表达式.
生:因为,所以猜想．
师:设、是可导函数,如何证明?
【学生思考交流,师生互动,教师板书并给出函数乘积的求导法则】
师证明:设,



.
【要点知识】
函数乘积的求导法则
法则2:两个函数和的乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数.即:.
由函数的乘积的导数法则可以得出.
【分析计算能力】
对所学的函数和(差)的求导法则进行运用、巩固,现学现用,提升学生的分析计算能力.
【推测解释能力】
通过从简单的两个函数之积的导数入手,使学生深刻理解两函数之积的导数并不等于两函数导数之积,以及通过猜想来培养学生的独立思考、推测解释能力.
【猜想探究能力】
通过对猜想进行求证,使学生明白函数积的求导法则的证明过程,在理解的基础上记忆函数积的求导法则,而不是盲目地死记硬背,培养学生的猜想探究能力.
师:根据所学,我们来看下面例题.
【典型例题】
函数乘积的求导法则
例2:(1)求函数的导数.
(2)求函数的导数.
生解:(1).
(2)解:.
【以学定教】
通过例2的巩固,学生学会用函数乘积求导法则进行求导,对知识现学现用.
探究3 函数商的求导法则
【情境设置】
探究函数商的求导法则
设,求.
成立得?
师:小组或同桌之间相互讨论,若成立,请说明理由,若不成立,也请说明理由.
生:不成立,因为,而.所以.
师:根据,猜想与、、、之间有什么关系?
生:.
师:设、是可导函数,证明?
【学生思考、交流、师生互动,教师板书】
师证明:设

.
【要点知识】
函数商的求导法则
法则3:两个函数和的商的导数(分母不为0等于分子的导数与分母的积,在减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方.即:.
【活动学习】
通过从简单的两个函数商的导数入手,学生深刻理解两个函数商的导数并不等于两函数导数之商,以及通过猜想来培养学生的辩证思维能力,多角度深入思考问题.
【说明论证能力】
通过函数商的求导法则的证明,学生了解函数商的求导法则,在理解的基础上记忆函数商的求导法则.提升说明论证能力.
师:接下来,我们看一道例题.
【典型例题】
函数商的求导法则的应用
例3:(1)求函数的导数.
(2)求函数的导数.
生解:(1).
(2).
师:根据所学我们来做一下巩固练习.
【巩固练习】
利用导数运算法则的应用
1.(1)求函数的导数.
(2)求函数的导数.
2.用两种方法求的导数
生解:(1).
(2).
2.方法一:.
方法二:.
【分析计算能力】
通过例3对所学的函数积(商)的求导法则进行运用,进一步巩固学生对导数的四则运算的运用与掌握,学会灵活运用所学知识,提升分析计算能力.
【简单问题解决能力】
运用导数运算法则解决相关巩固练习,提升学生解决问题的能力.
【意义学习】
学生通过利用教材给出的基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则解决简单的函数求导问题,对公式能够熟练掌握,体现意义学习.
师:现在请看例题.
【典型例题】
导数运算法则的应用
例4:日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为.
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:
(1);(2).
【学生独立做题,教师巡视教室,给予个别指导,并展示规范解答】
师:规范答案如下所示.
【典例解析】
导数运算法则的应用
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

(1)因为,所以,净化到纯净度为时,净化费用的瞬时变化率是元/吨.
(2)因为时,净化费用1321,所以,净化到纯净度时,净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.
师:接下来我们来做一下巩固练习.
【巩固练习】
导数的四则运算法则的应用
求曲线上点处的切线方程.
生解:.将代入导函数得.即曲线上点处的切线斜率为4,从而其切线方程为,即.
师:通过这节课你学到了什么知识?
【课堂小结】
导数的四则运算法则
本节课学习了导数的四则运算法则:
(1)强化对函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的熟练应用.
(2)熟练记忆公式和法则,掌握由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数)经过有限次加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导问题.
【设计意图】
回顾本节课所学内容,对本节课所学的导数的四则运算法则有一个整体的总结.
教学评价
本节内容以前面学习的导数的概念、几何意义及运用导数定义求几个常见函数的导数为基础,给出常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式,说明了为什么要引入导数运算法则,由导数公式及运算法则,就能得到两个基本函数的和、差、积、商的导数,熟练掌握导数公式及运算法则,为后续学习复合函数的导数奠定基础,特别是对研究函数问题掌握了必要的数学工具.
【设计意图】
引导学生整理本节课所学复合函数导数的知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的解题能力和数学核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知是曲线上的两点,
(1)分别求过点,点的曲线的切线方程;
(2)求与直线平行的曲线的切线方程.
解析:根据导数的几何意义和基本初等函数的导数公式求切线的斜率.
(1)因为都是曲线上的点.过点的切线的斜率,过点的切线的斜率,过点的切线方程为,即.过点的切线方程为,即.
(2)因为,直线的斜率,切线的斜率,所以,所以切点,与平行的切线方程为,即.
2.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
解析:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可得正确结论.
A..故选项不正确;B.,故选项B不正确;
C.,故选项C正确;D.,故选项D不正确.
3.求下列函数的导数.
(1);(2);(3);(4.
解析:利用导数的四则运算法则和复合函数的求导公式.
(1)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(2)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(3)函数可看作函数和的复合函数,∴.
(4)函数可看作函数和的复合函数,函数可看作函数和的复合函数.

【综合问题解决能力】
利用求导法则求出导函数是解题关键,结合导数的几何意义解决切线问题,让学生意识到正确求导的重要性.
【分析计算能力】
利用导数的四则法则和复合函数的求导法则解决相关练习,提升学生的分析计算能力.
教学反思
本教学案例前部分呈现基本初等函数的导数公式及运算法则,让学生了解并掌握公式和法则,并设计例题,让学生熟悉基本初等函数的导数公式和运算法则的应用,通过对例题的学习,体验数学与生活的联系,体会数学的文化价值,即运用数学知识解决实际问题.由于学生对后半部分的复合函数求导法则和法则的综合应用不熟练,教学中应注重概念的理解和应用,提高计算的准确度,并注重学科思想的渗透和数学素养的训练.
【以学定教】
启发并引导学生理解基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则,熟练掌握求导法则,结合导数几何意义解决切线的斜率问题,利用复合函数的导数解题,提高综合解决问题的能力.
【以学论教】
通过对导数的运算的学习,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.