高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《导数在研究函数中的应用》教学设计
课时2函数的极值与导数
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
函数的单调性与导数
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学运算
直观想象
逻辑推理
数学抽象
【考查内容】
1.利用导数研究函数的单调性
2.利用导数研究函数的极值
3.利用导数研究函数的最值
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
函数的极值与导数
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
函数的最大(小)值与导数
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
数学建模
一、本节内容分析
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.变化规律可用函数性质来描述.导数方法是研究函数性质的方法.本节主要包括三方面内容:一是利用导数研究函数的单调性;二是利用导数研究函数的极值;三是利用导数研究函数的最值.
在高考中常利用导数研究函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题.其中利用导数判断单调性起着基础性的作用,形成初步的知识体系,培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力.激发学生独立思考和创新的意识,让学生有创新的机会,充分体验成功的喜悦,开发了学生的自我潜能.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
数学建模
核心素养




二、学情整体分析
本节课是在学习导数的概念、运算的基础上继续深入学习的,学生已经了解了一些解题的基本思想和方法,应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生,所以本节的学习应让学生能够多参与、多思考,培养他们的分析问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力.在课堂教学中,应该把以教师为中心转向以学生为中心,把学生自身的发展置于教育的中心位置,为学生创设宽容的课堂气氛,帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展认知能力,充分调动学生学习的积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的单调性与导数
2.函数的极值与导数
3.函数的最大(小)值与导数
【教学目标设计】
1.导数的简单应用,包括求函数的极值、最值、单调区间和判断函数的单调性等.
2.综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性结合在一起.
【教学策略设计】
根据新课标高中数学的教学实际及本节课的内容特点,本部分的教学先从几个基本问题入手,在解决基本问题的过程中唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾,为实现本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上主要采取以下的策略:
(1)结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的单调性(求单调区间)的方法与步骤.
(2)结合函数图象,直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系,建立函数的极大值、极小值的概念.
(3)借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
(4)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤.
(5)通过适量的综合性练习,让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.利用导数判断函数单调性.
2.利用导数求函数的极值.
3.利用导数求函数的最值.
难点:
1.求解函数单调性的方法.
2.准确求函数极值.
3.准确求函数最值.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么?
生:设函数在某个区间内有导数,则在这个区间上,
(1)若,则在这个区间上为增函数;
(2)若,则在这个区间上为减函数;
(3)若恒有,则在这一区间上为常函数.
反之,若在某区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于;若在某区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0).
师:我们知道,在函数的定义域的某个区间内,导数的正负决定了原函数的增减,那么在导数的正负交替点处,函数的图象和性质又是怎样的呢?
【设计意图】
通过回顾旧知,加强学生对新知和旧知的联系,更便于利用旧知来学习新知.
教学精讲
探究1 极值的概念
师:我们先来研究前面学习过的高台跳水问题,观察下图:表示高台跳水运动员
的高度h随时间t变化的函数的图象,回答以下问题.
【情境设置】
探究极值的概念

(1)当时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数在处的导数是多少呢?
(2)在点附近的图象有什么特点?
(3)点附近的导数符号有什么变化规律?
【学生发表意见,教师引导点拨】
生:函数在点处,在的附近,当时,函数单调递增,;当时,函数单调递减,,即当在的附近从小到大经过时,先正后负,且连续变化,于是.
师:对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?
【通过几何画板进行动画演示】

【教师引导学生应用上节课函数的单调性与导数的关系回答上面问题】
师:以两点为例,我们可以发现,函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧.类似的,函数在点的变化情况呢?
生:函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧.
师:我们把点叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值;点叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值.极大值点与极小值点称为极值点,极大值与极小值称为极值.
【以学定教】
用本章多次出现的高台跳水问题引入,熟悉情境,自然贴切,要说明极值的概念,并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,就必须加强对图象的分析,让学生先形成一个直观概念,可以避免一些常见错误的出现.通过教师的点拔,帮助学生构建知识体系,完善、深化对知识、规律内涵的认识.
【意义学习】
通过图象归纳总结具体的概念,让学生运用数形结合的思想方法,体会从特殊到一殷的研究过程.使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程,了解极值点和极值的概念.
【要点知识】
函数的极值的概念
一般地,设函数在点及其附近有定义,
(1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值,记作;
(2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值,记作.
极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
【意义学习】
通过对函数极值概念的总结和理解,让学生进行深度思考,概括分析出极值点,表示出极值点是自变量的值,极值指的是函数值,从而提升概括理解能力.
探究2 求函数极值的基本步骤
师:通过以上探索,你能归纳出可导函数在某点取得极值的充要条件吗?
生:充要条件:且点的左右两边的导数值符号要相反.
师:我们观察上图(教材P90图5.3-11)辨析以下问题:(判断命题真假)
(1)图中的是函数的极大值;(2)函数的极大值就是函数的最大值;
(3)函数的极大值一定大于极小值;(4)函数的极小值(或极大值)可能不止一个.
【学生思考、辨析、回答,得出结论】
生:极值点不是点,指的是“高点”或“低点”的横坐标的值,极值是纵坐标的值;极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质;函数的极大值和极小值之间没有确定的大小关系;函数的极值可能不止一个.
【典型例题】
求函数极值
例1:求函数的极值.
【教师点拨:(1)求,解出,找函数极点;(2)由函数单调性确定在极点附近的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值】
生解:∵.令,解得,或.下面分两种情况讨论:当,即或时;当0,即时.当变化时,的变化情况如下表:

因此,当时,有极大值,且极大值为;当时,有极小值,且极小值为,函数的图象如下:

师:根据上面的例题我们归纳求函数极值的方法是什么?
生:求,解方程,当时:
(1)如果在附近的左边,右边,那么是极小值.
(2)如果在附近的左边,右边,那么是极大值.
【以学论教】
设置一个开放性的问题,请学生再思考函数的极值、极值点还有什么特点.教师选择了设置几个具有导向性的问题来加深学生对极值概念的理解.使学生知道极值刻画的是函数的局部性质,而最值刻画的是函数的整体性质.
【自主学习】
此函数的导函数为学生熟悉的二次函数,可以引导学生画出导函数的简图,由导函数的图象直接读出在某个区间的正负,达到“以形助数,以数辅形”.
【要点知识】
求函数极值的基本步骤
1.确定函数的定义域;
2.求导数;
3.求方程的根;
4.检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则在这个根处取得极大值;如果左负右正,则在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
师:下面我们根据所学知识继续巩固练习.
【典型例题】
探究函数的极值点
例2:(1)如图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点?
(2)如果该函数图象是导函数的图象,那么函数的极大值点,极小值点又是哪些呢?

生解:(1)、、、是函数的极值点,其中、是函数的极大值点,、是函数的极小值点.
(2)、是函数的极值点,其中是函数的极大值点,是函数的极小值点.不是极值点.
师:导数值为0的点一定是极值点吗?例如函数,在处,,但不是函数的极值点.那么函数的导数不存在的点也可能是极值点.
如:函数,在处,左侧时,右侧时,当时,是的极小值,但不存在.
【整体学习】
学生通过对例题的学习,达到对本节课所学知识的整体复习,加深对函数极值的理解,掌握求函数极值的基本步骤.
【以学定教】
通过原函数和导函数的图象,运用所学知识进行概念的辨析,让学生掌握求极值点不只令导数为0,还需清楚判断极值点的依据,加深对极值概念的理解.
下面我们来总结一下函数的极值点与导数为0点的区别.
【要点知识】
函数的极值点与导数为0点的区别
1.可导函数的极值点一定是导函数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.
2.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧,的符号相异.
3.函数的导数不存在的点也可能是极值点.
【简单问题解决能力】
利用导数解决极值问题,理解导数与极值的密切关系,体现导数法求极值的优越性.
师:下面我们根据所学知识继续练习.
【典型例题】
求函数的系数
例3:已知函数,当时,取得极大值7;当时,取得极小值.求这个极小值及、、的值.
生解:.据题意,是方程的两个根,由韦达定理得,极小值极小值为.
师:我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
函数的极值与导数
1.函数极值的定义.
2.函数极值求解步骤.
3.一个点为函数的极值点的充要条件.
【设计意图】
本课从函数图象入手,结合导数的几何意义、导数与单调性的知识去学习函数的极值,针对这些特殊的点,从特殊性到一般性进行分析,得出极大值和极小值的概念,对概念的理解和运用是本节课的重点,通过实现学生的主体地位,加强师生间的交流协作,增强学生自主探究能力和独立解决问题的能力,使学生体会数形结合,分类讨论和函数的思想方法.
教学评价
从利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发,让学生在新的问题情境中,引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题,在问题解决过程中获得新知,让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系,从而进一步完善数学认知结构.导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点,它是一种有力的工具,可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大(小)值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的捷径,成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁.我们要意识到导数工具的重要性,教学中下最大的功夫进行突破,为今后的深入学习与研究打下坚实的基础.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的素养目标要求.
根据所学知识,完成下面各题:
1.已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是( )

A.
B.
C.
D.
解析:本题考查函数的单调性与导数的关系.根据原函数图象的单调性及极值点的情况,得到导函数的零点个数及导函数的正负取值,由此即可得到导函数的图象的大致形状.由函数的图象看出,在轴左侧,函数有两个极值点,且先增后减再增,在轴右侧函数无极值点,且是减函数,根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知,导函数在轴右侧应有两个零点,且导函数值是先正后负再正,在轴右侧无零点,且导函数值恒负,由此可以断定导函数的图象是的形状.( )
答案:
2.函数,则( )
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递减
解析:掌握函数的单调性与导数的关系:在某个区间内,如果0,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.
因为函数,定义域为,所以,当时,解得,即函数的单调递增区间为;当时,解得,即函数的单调递减区间为.
答案:
【分析计算能力】
利用导数判断函数的单调区间,先求函数的定义域,重视对数函数的定义域对单调区间的影响.利用导数求函数的极值,导数为零的点不一定存在极值,要进行合理判断.
【综合问题解决能力】
本题已知在切点处的斜率求函数方程及最值,是高考常见考查内容,通过解题,提高学生的综合问题解决能力.
3.已知函数,求函数的极值.
思路:求函数的极值的一般步骤如下:首先令,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性,进而求出函数的极大值和极小值.
解析:因为,所以,令得,.又的定义域为,由得,由得,,所以时,有极小值为1,无极大值.
4.若函数,在点处的斜率为.
(1)求实数的值;
(2)求函数在区间上的最大值.
思路:(1)求出函数的导数,利用切线的斜率,求解即可.(2)求出导函数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最值即可.
解析:(1),即,解得;实数的值为1;
(2)为递增函数,∴,存在,使得,所以,.
教学反思
教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤,切实把关注学生的发展放在首位来考虑,并依此制定合理而科学的教学计划.
【以学定教】
启发并引导学生理解以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性和最值问题,理解函数单调性与导数的关系,掌握利用导数求函数极值和最值的方法,侧重导数与函数、数列、不等式的综合应用.
【以学论教】
根据学生实际学习用导数求函数的单调性与极值最值的情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.