苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数示范课ppt课件

4.1.2　指数幂的拓展

课标要求　通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

素养要求　通过对有理数指数幂a、实数指数幂ax含义的认识，提升学生的数学抽象素养；通过指数幂运算性质的应用，提升学生的数学运算素养.

一、分数指数幂

1.思考　(1)观察下列各式，你能得出什么结论？

① ＝＝22＝2.

②＝＝44＝4.

提示　通过观察两式可以得出，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

(2)类比“思考1”的规律，你能表示下列式子吗？由此你能得出什么结论？

，，，

提示　能， ＝a，＝3，＝b，＝a.可以得出：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.

(3)因为a－n(a≠0)可以写成，那么a－(a≠0)能否写成？

提示　能.

2.填空　(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n均为正整数)；

(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n均为正整数)；

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

温馨提醒　分数指数幂中，规定底数a>0，因为当a＝0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a－无意义.因此这样规定就省去了不必要的讨论，便于学习和应用.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)(－2)＝(－2).(　　)

(2)a2·a＝a.(　　)

(3)2∈R.(　　)

(4)3－＝－.(　　)

提示　(1)×　(－2)>0，而(－2)无意义，故错误.

(2)×　a2·a＝a.

(3)√　

(4)×　3－＝＝＝.

二、有理数指数幂的运算性质

1.思考　(1)通过计算判断16×16与16＋ 是否相等.

提示　相等.因为16×16＝×＝×＝23×2＝16，16＋＝16, 故相等.

(2)判断(4)与4×是否相等.

提示　相等.因为(4)＝()＝2＝＝，4×＝4＝，所以相等.

(3)判断(8×27)与8×27 是否相等.

提示　相等.因为(8×27)＝＝＝＝36，8×27＝×＝×＝4×9＝36，所以相等.

2.填空　(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

①asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)；

②(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)；

③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q).

(2)拓展：＝as－t(a>0，s，t∈Q).

温馨提醒　指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘.

3.做一做　(1)将化为分数指数幂为(　　)

A.2   B.－2 

C.2－   D.－2－

答案　B

解析　＝＝＝－2.

(2)2－等于(　　)

A.   B. 

C.－   D.

答案　D

解析　2－＝＝.

(3)化简27＝________.

答案　9

解析　27＝(33)＝33×＝32＝9.

三、无理数指数幂

一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.

题型一　根式与分数指数幂的互化

角度1　分数指数幂化根式

例1 用根式的形式表示下列各式(x>0).

(1)x；(2)x－.

解　(1)x＝；(2)x－＝.

角度2　根式化分数指数幂

例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.

(1)；(2)；(3)；(4).

解　(1)＝a.

(2)＝＝a－.

(3)＝＝ba－＝a－b.

(4)＝＝a＝a3.

思维升华　根式与分数指数幂互化的规律

训练1 用分数指数幂表示下列各式：

(1)(a>0，b>0)；

(2)(a>0，b>0).

解　(1)＝＝＝b.

(2)＝＝＝＝a－b.

题型二　有理数指数幂的运算

例3 计算下列各式：

(1)＋0.1－2＋－3π0＋；

(2)－＋＋－π0.

解　(1)原式＝＋102＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

(2)原式＝－＋

＋－1＝－＋＋－1＝3.

思维升华　1.有理数指数幂运算的常用技巧

(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.

(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.

(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则.

2.根式化简的步骤

(1)将根式化成分数指数幂的形式.

(2)运用分数指数幂的运算法则求解.

3.对于化简或求值结果的要求

对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式.

训练2 (1)＝________.

(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：

①··；

②0.064－－＋＋16－0.75.

(1)答案　

解析　＝＝＝＝.

(2)解　①原式＝x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y.

②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.

题型三　用乘法公式化简含指数幂的代数式

例4 (1)若x－x－＝1，则x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________.

(2)化简：÷·.

(1)答案　3　7

解析　将x－x－＝1两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.

将x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.

(2)解　原式＝÷·a

＝··a

＝··a＝a·a·a＝a.

思维升华　引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式，被赋予了新的活力，如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)这两个公式用分数指数幂表示就是a±b＝，再如a－b＝·，a±2ab＋b＝等，巧用这些公式的变形，可将所求代数式恰当地变形构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入”巧妙地求出代数式的值.

训练3 (1)已知a＝－，b＝，则÷＝________.

(2)已知x＋x－＝3，求的值.

(1)答案　

解析　原式＝÷

＝÷＝·＝.

由题意得a＝－，∴a＝.∴原式＝.

(2)解　由x＋x－＝3，得＝9，即x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7.两边平方得x2＋2＋x－2＝49，∴x2＋x－2＝47.

∴＝＝9.

[课堂小结]

1.掌握2个知识点

(1)分数指数幂的意义；

(2)分数指数幂的运算性质.

2.掌握2种方法

(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律.

(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”.

3.规避1个易错点

在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.

一、基础达标

1.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是(　　)

A.R

B.∪

C.

D.

答案　D

解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.

2.化简[]的结果为(　　)

A.5   B. 

C.－   D.－5

答案　B

解析　[]＝()＝5×＝5＝.

3.＋(－1)－1÷0.75－2＋＝(　　)

A.   B. 

C.－   D.－

答案　A

解析　原式＝－1÷＋＝－1÷＋＝－＋＝.

4.化简()4·()4的结果是(　　)

A.a16   B.a8 

C.a4   D.a2

答案　C

解析　原式＝·＝·＝a2·a2＝a4.

5.(多选)下列各式中一定成立的有(　　)

A.＝n7m   B.＝

C.＝(x＋y)   D.＝

答案　BD

解析　A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确.故选BD.

6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.

答案　

解析　32a－b＝＝.

7.设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.

答案　a

解析　＝＝＝

＝a2a－＝a2－＝a.

8.2－＋＋－×8＝________.

答案　2－3

解析　原式＝＋＋＋1－22＝2－3.

9.求下列各式的值：

(1)；

(2).

解　(1)原式＝＝＝3＝3.

(2)原式＝＝5－－5－＝5－5＝－5.

10.计算：(1)(－1)0＋＋()－；

(2)0.027－－＋2560.75－＋.

解　(1)原式＝1＋＋＝1＋＋＝2.

(2)原式＝(0.33)－－＋(44)－＋1

＝－36＋64－＋1＝32.

二、能力提升

11.(多选)下列运算(化简)中正确的有(　　)

A.－1·－＝a

B.a·(4y－a)＝4x

C.[(1－)2]－－1＋(1＋)0＝3－2

D.2a3b·÷＝－ab－

答案　ABD

解析　对于A：－1·(a－2)－

＝a－＋＝a，故A正确；

对于B：(xa－1y)a·(4y－a)＝4x·aya－a

＝4xy0＝4x，故B正确；

对于C：－(1＋)－1＋(1＋)0＝－＋1

＝－1－(－1)＋1＝1，故C错误；

对于D：2a3b·÷

＝[2×(－5)÷4]a3＋－b＋－

＝－ab－，故D正确；故选ABD.

12.计算－0－－＝________；若x>0，则－4x－＝________.

答案　－1　－23

解析　－0－－＝－0－＝－1－＝－1，

－4x－

＝－4x＋4＝－27＋4＝－23.

13.(1)已知2x＋2－x＝a，求16x＋16－x的值(用含a的式子表示)；

(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求的值.

解　(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.

(2)＝

＝.①

∵x＋y＝12，xy＝9，②

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy

＝122－4×9＝108.

又∵x<y，∴x－y＝－6.③

将②③代入①，得

＝＝－.

三、创新拓展

14.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w有ax＝by＝cz＝70w，且＝＋＋，求a，b，c的值.

解　∵ax＝70w且x，w为非零实数，

∴(ax)＝(70w)，∴a＝70.

同理可得b＝70，c＝70，

即(abc)＝70＋＋＝70.

a，b，c均为正整数，∴abc＝70＝2×5×7，

又a，b，c为正整数且a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.