高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数精练

章末综合测评(四)　指数与对数

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)

A．2 B．－2

C．2 D．－2

B　[＝(－2)＝(－2×2)＝＝－2.故选B.]

2．计算9的结果是(　　)

A． B．18 

C．36 D．

A　[9＝(32)＝3－3＝，故选A.]

3．当有意义时，化简－的结果是(　　)

A．2x－5 B．－2x－1

C．－1 D．5－2x

C　[因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝(2－x)－(3－x)＝－1.]

4．方程2log3x＝的解是(　　)

A．9 B．  C. D．

D　[∵2 log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.]

5．若lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x的值等于(　　)

A．1 B．0或 

C． D．log23

D　[ 因为lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.故选D.]

6．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)

A．2 B．0 

C．－2 D．±2

B　[由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0.]

7．已知loga ＝m，loga3＝n，则am＋2n等于(　　)

A．3 B． 

C．9 D．

D　[由已知得am＝，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝×32＝.故选D.]

8．已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为(　　)

A. B．4 

C．1 D．4或1

B　[因为2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，所以loga(M－2N)2＝loga(MN)，(M－2N)2＝MN，2－5＋4＝0，解得＝1(舍去)，＝4，故选B.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列运算正确的是(　　)

A．＝a B．log2a2＝2log2a

C．＝－a D．(log29)·(log34)＝4

CD　[当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.所以D正确，应选CD.]

10．若m>0，n>0，a>0且a≠1，b>0，则下列等式错误的是(　　)

A．a－n＝

B．logam·logan＝loga(m＋n)

C．＝m

D．m＝

ABC　[a－n＝，故A错误；

logam＋logan＝loga(mn)，故B错误；

＝m，故C错误；

m＝故D正确．故选ABC.]

11．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　)

A． B． 

C． D．2

AD　[令t＝logab，

则t＋＝，

∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0，

∴t＝或t＝2，

∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2，或a2＝b，

∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，

∴b＝2，a＝4，或a＝2，b＝4.

∴＝2，或＝，故选AD.]

12．下列命题中，真命题是(　　)

A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝

B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝±

C．若log6[log3(log2x)]＝0，则x＝

D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)＝0

ACD　[对于A，因为log189＝a，log1854＝b，

所以18a＝9,18b＝54，

所以182a－b＝＝＝.即A正确；

对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6.

所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝.即B错误；

对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，

转化为指数式为x＝23＝8，

所以x＝8＝＝＝＝.即C正确；

对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，

所以logx(yx)＝log2(12)＝0，即D正确．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．10lg 2－ln e＝________.

　[ln e＝1，所以原式＝10lg 2－1＝10lg 2×10－1＝2×＝.]

14．若＋＝0，则x2 020＋y2 021＝________.

0　[∵≥0，≥0，且＋＝0，

∴即

∴x2 020＋y2 021＝1－1＝0.]

15．已知正数a，b满足ba＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b＝________.

4或5　[∵ba＝4，

∴log2ba＝log24，即alog2b＝2①，又a＋log2b＝3②，

联立①②得或者，

即或者，

∴a＋b＝4或者a＋b＝5，

故答案为：4或5.]

16．若2a＝5b＝10，则4－a＝________，＋＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

　1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，

∴4－a＝＝＝；

＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分) 求下列各式中x的值．

(1)log3(log2x)＝0；

(2)log2(lg x)＝1；

(3)52－log53＝x；

(4) (alogab)logbc＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．

[解]　(1)∵log3(log2x)＝0，

∴log2x＝1.

∴x＝21＝2.

(2)∵log2(lg x)＝1，

∴lg x＝2.

∴x＝102＝100.

(3)x＝52－log53＝＝.

(4)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.

18．(本小题满分12分)(1)已知3a＝5b＝15，求＋的值．

(2)设10a＝2，lg 3＝b，用a，b表示log26.

[解]　(1)∵3a＝5b＝15，

∴a＝log315，b＝log515，

∴＝log153，＝log15 5，

∴＋＝log1515＝1.

(2)∵10a＝2，

∴lg 2＝a，

∴log26＝＝＝.

19．(本小题满分12分)(1)化简：log4(24×642)＋log318－log32＋log52×log2125；

(2)已知a＝2，b＝5，求·的值．

[解]　(1)原式＝log4(42×46)＋log3＋log5125＝8＋2＋3＝13.

(2)a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2，

由a＝2，b＝5，得a3b－3<3b2.

∴原式＝·

＝－

＝－

＝－b2.

∵b＝5，故原式＝－50.

20．(本小题满分12分)(1)求64＋－0.5的值；

(2)若log23＝x，求的值.

[解]　(1)64＋－0.5＝16＋－＝16.

(2)若x＝log23，则2x＝3,2－x＝，

所以＝＝2x＋2－x＝3＋＝.

21．(本小题满分12分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.

(1)求p；

(2)求证：－＝.

[解]　(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，

则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.

由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.

∵log3k≠0，∴p＝2log34.

(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，

又＝logk4＝logk2，∴－＝.

22．(本小题满分12分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年)

[解]　设x年后每桶的生产成本为20元．

1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)，

2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2，

x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20.

所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得

xlg 0.72＝lg 0.4.

故x＝＝＝

＝

≈

＝≈3(年)．

所以，约3年后每桶的生产成本为20元．