高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案，共5页。


1.理解n次方根、n次根式的概念.
2.能正确运用根式运算性质化简、求值.
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
1.教学重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．
2.教学难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．
预习课本P75～77，思考并完成以下问题
1．n次实数方根
如果一个实数x满足 ，那么称x为a的n次实数方根，其中n＞1且n∈N*.
2．n次实数方根的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，用符号 表示．
(2)当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号eq \r(n,a)表示，负n次实数方根用符号－eq \r(n,a)表示．它们可合并写成 (a＞0)．
(3)0的n次实数方根等于0，记作 eq \r(n,0)＝0.
3．根式的定义
式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做 ，a叫做 ．
4．两个等式
(1)n∈N*，n≥2，(eq \r(n,a))n＝ .
(2)n为奇数时，eq \r(n,an)＝ ，n为偶数时，eq \r(n,an)＝ .
5．分数指数幂的意义
一般地，我们规定＝ (a>0，m，n均为正整数)；＝ (a>0，m，n均为正整数).
0的正分数指数幂为0,0的 没有意义．
6．有理数指数幂的运算性质
(1)as·at＝ ，(2)(as)t＝ ，(3)(ab)t＝
其中a，b，s，t的取值范围是a＞0，b＞0，s，t∈Q.
典例剖析
题型一 根式的运算
[典例] (1)化简(eq \r(4,a－1))4＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝________.
(2)若－3＜x＜3，则化简 eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9) ＝________.

变式训练
1．化简：eq \r(π－42)＋eq \r(3,π－43)＝________.
2．化简：eq \r(3－2\r(2))－eq \r(5＋2\r(6))＝________.
3．化简：eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝________.
题型二 根式和分数指数幂的互化
[典例] 将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x>0)；
(3) (b>0)．

变式训练 设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是________．
题型三 条件求值问题
[典例] 已知＋＝eq \r(5)，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，则a2－a－2＝________.
2．[变条件，变设问]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，
求的值．
1．已知x5＝6，则x等于( )
A.eq \r(6) B.eq \r(5,6) C．－eq \r(5,6) D．±eq \r(5,6)
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,m2) B.eq \r(3,m) C.eq \r(6,m) D.eq \r(5,－m)
3．(eq \r(4,2))4运算的结果是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
4.eq \r(3,－8)的值是________．
5.eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)的值是________．
参考答案
1．答案 B
2．答案 C
3．答案 A
4．答案 －2
5．答案 0或2(a－b)
解析 eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)＝|a－b|＋(a－b)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a≤b，,2a－b，a>b.))