高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案及答案，共9页。学案主要包含了n次方根的概念，利用根式的性质化简或求值，有限制条件的根式的化简等内容，欢迎下载使用。

导语
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数eq \r(2)的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．
一、n次方根的概念
问题1 如果x2＝a，那么x叫作a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示 如果x2＝a，那么x叫作a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫作a的立方根，这样的x有一个．
问题2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示 比如(±2)4＝16，我们把±2叫作16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫作81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫作－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫作1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫作a的n次方根．
知识梳理
1．a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根．
2．a的n次方根的表示(n>1，n∈N*)
3.根式：式子eq \r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
4．根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的n次方根等于0，记作eq \r(n,0)＝0.
(3)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．
(4)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
(5)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．
注意点：
(1)对于(eq \r(n,a))n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0.
(2)(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)意义不同，比如eq \r(3,－33)＝－3，eq \r(4,－34)＝3，而(eq \r(4,－3))4没有意义，故(eq \r(n,a))n≠eq \r(n,an).
(3)当a≥0时，(eq \r(n,a))n＝eq \r(n,an)；当a<0且n为奇数时，(eq \r(n,a))n＝eq \r(n,an)；当a<0且n为偶数时，(eq \r(n,a))n没有意义，对于eq \r(n,an)要注意运算次序．
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
答案 7或－11
解析 81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
(2)若eq \r(4,x－2)有意义，求实数x的取值范围．
解 ∵eq \r(4,x－2)有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，
即x的取值范围是[2，＋∞)．
反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)符号：根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．
①当n为偶数，且a≥0时，eq \r(n,a)为非负实数；
②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致．
跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(7,8) C．－eq \r(7,8) D．±eq \r(7,8)
(2)16的4次方根是________，eq \r(3,2x＋1)有意义，则x的取值范围是________．
答案 (1)B (2)±2 R
解析 (1)因为7为奇数，所以8的7次方根只有一个eq \r(7,8).
(2)4是偶数，则偶次方根有两个，为±2；3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义，即x的取值范围为R.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简或求值：
(1)eq \r(5,－25)＋(eq \r(5,－2))5；(2)eq \r(6,－26)＋(eq \r(6,2))6；(3)eq \r(4,x＋24).
解 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))
反思感悟 正确区分eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n
(1)(eq \r(n,a))n已暗含了eq \r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．
(2)eq \r(n,an)中的a可以是全体实数，eq \r(n,an)的值取决于n的奇偶性．
跟踪训练2 化简或求值：
(1)eq \r(7,－27)；
(2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).
解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.
(2)∵a≤1，
∴eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))
三、有限制条件的根式的化简
例3 已知－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3延伸探究 本例中，若将“－3解 原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)
＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思感悟 有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
跟踪训练3 已知－1解 原式＝eq \r(x－22)－eq \r(x＋12)＝|x－2|－|x＋1|.
因为－10，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
1．知识清单：
(1)n次方根的概念及表示．
(2)根式的性质．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：
(1)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.
(2)混淆(eq \r(n,a))n和eq \r(n,an).
1．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.eq \r(4,a2) B.eq \r(5,a)
C.eq \r(5,－a) D.eq \r(4,a)
答案 D
解析 当a<0时，a的偶次方根无意义．
2．下列各式正确的是( )
A.eq \r(a2)＝a B.eq \r(3,－33)＝－3
C.eq \r(－24)＝－4 D．－eq \r(3,－a3)＝－a
答案 B
解析 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0，))
可知eq \r(a2)＝|a|，eq \r(－24)＝4，
故A，C错误；
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
所以eq \r(3,－33)＝－3，－eq \r(3,－a3)＝－(－a)＝a，
故B项正确，D项错误．
3．当x<0时，x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________.
答案 1
解析 原式＝x＋|x|＋eq \f(x,x)＝x－x＋1＝1.
4．若eq \r(x2－2x－32)＝－x2＋2x＋3，则实数x的取值范围是________．
答案 [－1,3]
解析 因为eq \r(x2－2x－32)＝|x2－2x－3|＝－x2＋2x＋3，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.
1．(eq \r(4,2))4运算的结果是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
答案 A
解析 因为(eq \r(n,a))n＝a，所以(eq \r(4,2))4＝2.
2．已知m10＝2，则m等于( )
A.eq \r(10,2) B．－eq \r(10,2)
C.eq \r(210) D．±eq \r(10,2)
答案 D
解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±eq \r(10,2).
3．若eq \r(a－2)＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
答案 B
解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥0，,a－4≠0，))∴a≥2且a≠4.
4．(多选)下列选项中正确的是( )
A．81的4次方根是3
B.eq \r(4,16)的运算结果是±2
C．当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意a∈R都有意义
D．当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义
答案 CD
解析 A中81的4次方根应是±3；B中eq \r(4,16)＝2，由根式的性质知，正确的应为CD.
5．若aA．4a－1 B．1－4a
C．－eq \r(4a－1) D．－eq \r(1－4a)
答案 B
解析 ∵a∴4a－1<0，
∴eq \r(4a－12)＝|4a－1|＝－(4a－1)＝1－4a.
6．(多选)若n∈N，a∈R，则下列各式中一定有意义的是( )
A.eq \r(4,－42n) B.eq \r(4,－42n＋1)
C.eq \r(5,a4) D.eq \r(4,a5)
答案 AC
解析 (－4)2n>0，故A有意义；
(－4)2n＋1<0，故B无意义；C显然有意义；
当a<0时，a5<0，此时eq \r(4,a5)无意义，故D不一定有意义．
7．已知y＝eq \r(x2－6x＋9)－|2－x|，则当2＜x＜3时，y＝________；当x＞3时，y＝________.
答案 5－2x －1
解析 y＝eq \r(x2－6x＋9)－|2－x|＝eq \r(x－32)－|2－x|＝|x－3|－|2－x|，
所以，当2＜x＜3时，y＝3－x＋2－x＝5－2x；
当x＞3时，y＝x－3＋2－x＝－1.
8．化简：eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a解析 eq \r(a－b2)＋eq \r(5,a－b5)
＝|a－b|＋(a－b)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，a9．化简：
(1)eq \r(4a2＋4a＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a≤－\f(1,2)))；
(2)eq \r(n,x－yn)(x＜y，n>1，n∈N*)．
解 (1)∵a≤－eq \f(1,2)，∴2a＋1≤0，
∴eq \r(4a2＋4a＋1)＝eq \r(2a＋12)
＝|2a＋1|＝－2a－1.
(2)∵x＜y，∴x－y＜0，
∴当n为大于1的偶数时，
eq \r(n,x－yn)＝|x－y|＝y－x，
当n为大于1的奇数时，eq \r(n,x－yn)＝x－y.
10．已知eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b，求eq \r(4,a＋b4)＋eq \r(3,a＋b3)的值．
解 因为eq \r(4,a4)＋eq \r(4,b4)＝－a－b，
所以eq \r(4,a4)＝－a，eq \r(4,b4)＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以
原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
11．当eq \r(2－x)有意义时，化简eq \r(x2－8x＋16)－eq \r(x2－6x＋9)的结果是( )
A．2x－7 B．－2x＋1
C．1 D．7－2x
答案 C
解析 因为eq \r(2－x)有意义，
所以2－x≥0，即x≤2，
则x－4<0，x－3<0，
所以原式＝eq \r(x－42)－eq \r(x－32)
＝|x－4|－|x－3|
＝(4－x)－(3－x)＝1.
12．下列式子中成立的是( )
A．aeq \r(－a)＝eq \r(－a3) B．aeq \r(－a)＝－eq \r(a3)
C．aeq \r(－a)＝－eq \r(－a3) D．aeq \r(－a)＝eq \r(a3)
答案 C
解析 由题意知a<0，
故aeq \r(－a)＝－(－a)eq \r(－a)＝－eq \r(－a2－a)
＝－eq \r(－a3).
13．化简(1－a)eq \r(4,\f(1,a－13))的结果是( )
A.eq \r(4,a－1) B．－eq \r(4,a－1)
C.eq \r(4,1－a) D．－eq \r(4,1－a)
答案 B
解析 因为原式有意义的条件是a－1>0，
即a>1，
所以(1－a)eq \r(4,\f(1,a－13))＝－eq \r(4,a－14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)))3)
＝－eq \r(4,a－1).
14.eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝________.
答案 3－2eq \r(2)
解析 eq \r(\f(3－2\r(2),3＋2\r(2)))＝eq \r(\f(3－2\r(2)2,3＋2\r(2)3－2\r(2)))
＝eq \r(3－2\r(2)2)＝3－2eq \r(2).
15. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,a－b4)的值为( )
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
答案 D
解析 由题图知当x＝－1时，
y＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.∴eq \r(4,a－b4)＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
16．计算：
(1)eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)；
(2)eq \r(3,－83)＋eq \r(4,\r(3)－24)－eq \r(3,2－\r(3)3)；
(3)eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(3,4))－\r(\f(1,4))))3)×(eq \r(3)＋1)＋(eq \r(2 022)－eq \r(2 021))0.
解 (1)原式＝eq \r(\f(25,4))－eq \r(3,\f(27,8))＋eq \r(3,\f(1,8))＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
(2)原式＝－8＋|eq \r(3)－2|－(2－eq \r(3))
＝－8＋2－eq \r(3)－2＋eq \r(3)＝－8.
(3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(3,4))－\r(\f(1,4))))·(eq \r(3)＋1)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))·(eq \r(3)＋1)＋1
＝eq \f(1,2)×(eq \r(3)－1)·(eq \r(3)＋1)＋1
＝eq \f(1,2)×(3－1)＋1＝1＋1＝2.n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)