高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数学案及答案，共39页。










根式的概念和运算法则


1．n次方根的定义：


若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.


n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；


n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.


2．两个等式


（1）当且时，；


（2）


要点诠释：


①要注意上述等式在形式上的联系与区别；


②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．


分数指数幂的概念和运算法则


为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：


（1）


（2）


（3）


有理数指数幂的运算


1．有理数指数幂的运算性质





(1)


(2)


(3)


当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.


要点诠释：


(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；


(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；


(3)幂指数不能随便约分.如.








例题解析














例1利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.


； （2） ； （3）； （4） .











例2求下列各式的值.


（1） ； （2） ； （3） ；


（4）； （5） ； （6）.

















例3用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：


（1）；（2）；（3）；（4）。











举一反三：


【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简


（1）； （2）

















【变式2】把下列根式化成分数指数幂：


（1）； （2）； （3）； （4）











例4.计算：（1）； （2）.

















举一反三：


【变式1】化简：（1）；




















例5.计算：


(1)；


(2)


(3)。























举一反三：


【变式1】计算下列各式：


(1)；(2).




















例6.化简





























举一反三：


【变式1】化简下列各式.


（1）； （2）； （3）.






































例7．已知，求的值.














举一反三：


【变式】已知，求及的值．























反思总结











有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.





随堂检测














一、单选题


1．()4运算的结果是（ ）


A．2B．－2C．±2D．不确定


2．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）


A． B． C． D．


3．已知x5＝6，则x等于（ ）


A． B． C．－D．±


4．下列运算中计算结果正确的是（ ）


A．B．C．D．


5．对任意的正实数及，下列运算正确的是（ ）


A．B．


C．D．


6．化简的结果为（ ）


A．B．C．D．


7．已知，那么等于（ ）


A．B．C．D．


8．化简的结果为（ ）


A．B．C．D．2


9．的值（ ）


A．B．C．D．


10．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）


A．18B．6C．2D．2


二、多选题


11．下列运算结果中，一定正确的是（ ）


A．B．C．D．


12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )


A．B．


C．D．


E.


13．下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )


A．和 B．和C．和D．和E.和


三、填空题


14．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.


15．化简：－＝________.


16．若，则________.


17．_________


18．化简________.


19.若，则化简________.


20．在①、②、③④中，最大的数是_______；最小的数值_______（填序号）.


21．计算：___________．若，，则___________．


五、解答题


22．已知，，求的值.


























23.将下列根式化成分数指数幂的形式.


（1） (a>0)； （2）；（3）(b>0).

















24．已知，求下列各式的值：


（1）.（2）.（3）.
































课后练习














1．的值（ ）


A．B．C．D．


2．计算的结果为（ ）


A．B．C．D．


3．若，则( )


A．B．1C．D．


4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )


A．4B．2或－2


C．－2D．2


5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )


A.B．


C．1D．


6（多选）下列运算结果中，一定正确的是（ ）


A．B．C．D．


7.(多选）下列各式中一定成立的有（ ）


A．B．


C．D．


8.当时，_______________.


9.设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.


10.已知，则______；当时，化简______.


11.化简：________.











12.将下列根式化成分数指数幂的形式.


（1） (a>0)； （2）；（3）(b>0).














13.计算下列各式：


（1）.


（2）.


（3）.























14.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.




















15.已知.


（1）求（且）的值；


（2）求的值.


例1利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值.


； （2） ； （3）； （4） .


【答案】（1）2；（2）27；（3）27；（4）





例2求下列各式的值.


（1） ； （2） ； （3） ；


（4）； （5） ； （6）.


【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）；（5）2；（6）


例3用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：


（1）；（2）；（3）；（4）。


【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。


（1）


（2）；


（3）；


（4）=====





举一反三：


【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简


（1）； （2）


【答案】（1）； （2）








【变式2】把下列根式化成分数指数幂：


（1）； （2）； （3）； （4）


【解析】（1）=；


（2）；


（3）；


（4）==


例4.计算：（1）； （2）.


【解析】（1）


=+-


=


=||+||-||


=+-（）


=2


（2） =


=


=


举一反三：


【变式1】化简：（1）；


【答案】（1）；





例5.计算：


(1)；


(2)


(3)。


【解析】(1)原式=；


(2)原式=；


(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；


举一反三：


【变式1】计算下列各式：


(1)； (2).





【解析】(1)原式=；


(2)原式.





例6.化简


【解析】原式


.








举一反三：


【变式1】化简下列各式.


（1）； （2）； （3）.


【解析】（1）原式；


（2）


（3）





例7．已知，求的值.


【解析】，，


，


=


=





举一反三：


【变式】已知，求及的值．


【解析】∵ ，∴ x＞0，


则，


则，


∵ ，


则，


∴ ，


∴ ．














反思总结











有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.





随堂检测














一、单选题


1．()4运算的结果是（ ）


A．2B．－2C．±2D．不确定


【答案】A


【解析】


由指数运算法则，容易得：()4=2.


故选：A.


2．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）


A． B． C． D．


【答案】C


【解析】


由指数幂的运算性质，可得：


对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；


对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；


对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义；


对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义.


故选：C.


3．已知x5＝6，则x等于（ ）


A． B． C．－D．±


【答案】B


【解析】


因为，故可得.


故选：B.


4．下列运算中计算结果正确的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】


根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误；


根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误；


根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，


根据指数幂的运算，故正确.


故选：D


5．对任意的正实数及，下列运算正确的是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】D


【解析】


根据指数的运算性质排除ABC.


故选:D


6．化简的结果为（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】


原式.


故选：A


7．已知，那么等于（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


当时，，，此时；


当时，，，此时.


，因此，.


故选：C.


8．化简的结果为（ ）


A．B．C．D．2


【答案】C


【解析】


原式.


故选：C


9．的值（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】


原式.


故选：C.


10．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）


A．18B．6C．2D．2


【答案】B


【解析】


因为,由基本不等式有,当且仅当时取等号.


故选：B


二、多选题


11．下列运算结果中，一定正确的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】AD


【解析】


，故A正确；


当时，显然不成立，故B不正确；


，故C不正确；，D正确，


故选AD.


12．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )


A．B．


C．D．


E.


【答案】CE


【解析】


A错，，而；


B错，；


C正确，；


D错，；


E正确，.


故选：CE.


13．下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( )


A．和B．和C．和D．和E.和


【答案】CE


【解析】


A不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；


B不符合题意，0的负分数指数幂没有意义；


C符合题意，；


D不符合题意，和均符合分数指数幂的定义，但，；


E符合题意，.


故选：CE.


三、填空题


14．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.


【答案】


【解析】


∵，∴.


故答案为：.


15．化简：－＝________.


【答案】


【解析】


原式＝.


故答案为：


16．若，则________.


【答案】


【解析】


因为，


所以，


所以.


故答案为：.


17．_________【答案】


18．化简________.


19.若，则化简________.


【答案】 当时， ；当时，.


【解析】


（1）由有意义，可得，即，


所以.


（2）由，


因为，


当时，原式；


当时，原式.


20．在①、②、③④中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.


【答案】③. ①.


【解析】


①；②；③；④.


所以最大的是③，最小的是①.


故答案为：(1). ③. (2). ①.


21．计算：___________．若，，则________________．


【答案】0


【解析】


①；


②


故答案为：0，


五、解答题


22．已知，，求的值.


【答案】


【解析】


原式.


23.将下列根式化成分数指数幂的形式.


（1） (a>0)；


（2）；


（3）(b>0).


【答案】（1）；（2）；（3）.


【解析】


（1）原式＝ ＝＝＝.


（2）原式＝＝＝


＝＝＝.


（3）原式＝[]＝＝.


24．已知，求下列各式的值：


（1）.


（2）.


（3）.


【答案】（1）7；（2）47；（3）3.


【解析】


（1）将两边平方，得，即.


（2）将上式两边平方，可得，∴.


（3）∵


，


而，


∴原式.








课后练习














1．的值（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】原式.故选：C.


2．计算的结果为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】因为，故选：C


3．若，则( )


A．B．1C．D．


【答案】C


【解析】依题意，.故选：C.


4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )


A．4B．2或－2


C．－2D．2


【答案】D


【解析】设ab－a－b＝t.


∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.


则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.


5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )


A.B．


C．1D．


【答案】B


【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝.


6（多选）下列运算结果中，一定正确的是（ ）


A．B．C．D．


【答案】AD


【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；


，故C不正确；，D正确，故选AD.


7.(多选）下列各式中一定成立的有（ ）


A．B．


C．D．


【答案】BD


【解析】，错误；，正确；


，错误；，正确


故选：





8.当时，_______________.


【答案】


【解析】根据指数运算公式：，因为，


所以原式=.故答案为：.


9.设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.


【答案】


【解析】∵，∴.


故答案为：.


10.已知，则______；当时，化简______.


【答案】； .


【解析】


，








故答案为：；


11.化简：________.


12.【答案】


【解析】原式








.


12.将下列根式化成分数指数幂的形式.


（1） (a>0)；


（2）；


（3）(b>0).


【答案】（1）；（2）；（3）.


【解析】（1）原式＝ ＝＝＝.


（2）原式＝＝＝


＝＝＝.


原式＝[]＝＝.


13.计算下列各式：


（1）.


（2）.


（3）.


【答案】（1）；（2）100；（3）.


【解析】


（1）原式.


（2）原式


.


（3）原式


.








14.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.


【答案】－.


【解析】＝＝.①


∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，


∴a＋b＝12，ab＝9，②


∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.


∵a＜b，∴a－b＝－6.③


将②③代入①，得＝＝－.


15.已知.


（1）求（且）的值；


（2）求的值.


【答案】（1）；（2）.


【解析】（1），；


（2）原式.