人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案设计

                第四章  指数函数与对数函数

                4.1.1  n次方根与分数指数幂

1. 理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；

2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。

重点：分数指数幂和无理指数幂的概念；

难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质；

1．分数指数幂的意义

2．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

小试牛刀

1．思考辨析

(1)0的任何指数幂都等于0.(　　)    (2)5＝.(　　)

(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)

2．4等于(　　)

A．25       B.   C.   D.

3．已知a>0，则a等于(　　)

A.  B．  C.   D．－

4．(m)4＋(－1)0＝________.

（二）、探索新知

无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂；

观察下表：的是 否表示一个确定的实数？

由上可以看出：    可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。

（三）典例解析

题型1  根式与分数指数幂的互化

例1 将下列根式化成分数指数幂的形式：

(1)(a>0)；(2)；(3)(b>0).

跟踪训练1．将下列根式与分数指数幂进行互化．

(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．

题型2、利用分数指数幂的运算性质化简求解

例2、化简求值

跟踪训练2．(1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；

(2)化简：÷(a>0)．

题型3 指数幂运算中的条件求值

1.2和2存在怎样的等量关系？

提示：2＝2＋4.

2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？

提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.

例3、已知a＋a－＝4，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.

母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．

2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．

1．下列运算结果中，正确的是(　　)

A．a2a3＝a5               B．(－a2)3＝(－a3)2

C．(－1)0＝1           D．(－a2)3＝a6

2．把根式a化成分数指数幂是(　　)

A．(－a)   B．－(－a)     C．－a     D．a

4．若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.

1.利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的  指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。

2.指数幂运算性质

参考答案：

一、知识梳理

小试牛刀

1.[答案]　(1)×　(2)×　(3)×           2.B　[4＝＝，故选B.]

3.B　[a＝＝.]             4.m2＋1　[(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]

二、学习过程

跟踪训练1

跟踪训练2．

例3.[解]　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.

(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.

[解]　1、由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.[解]　2、令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，

∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.

三、达标检测

1.[答案]A　[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，

故选A.]

2.[答案]D　[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]

3.答案：

4.[答案]　[∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，所以103m－n＝＝.]