数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时训练

这是一份数学必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时训练，共5页。试卷主要包含了5°的结果等于等内容，欢迎下载使用。


课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcs α，sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α；
(2)C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．倍角公式常用变形
(1)eq \f(sin 2α,2sin α)＝__________，eq \f(sin 2α,2cs α)＝__________；
(2)(sin α±cs α)2＝__________；
(3)sin2α＝______________，cs2α＝______________.
一、选择题
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
2．函数y＝2cs2(x－eq \f(π,4))－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
3．若sin(eq \f(π,6)－α)＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(2π,3)＋2α)的值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(7,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,9)
4．若eq \f(1－tan θ,2＋tan θ)＝1，则eq \f(cs 2θ,1＋sin 2θ)的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－eq \f(1,2)
5．如果|cs θ|＝eq \f(1,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π，则sin eq \f(θ,2)的值是( )
A．－eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(10),5) C．－eq \f(\r(15),5) D.eq \f(\r(15),5)
6．已知角α在第一象限且cs α＝eq \f(3,5)，则eq \f(1＋\r(2)cs2α－\f(π,4),sinα＋\f(π,2))等于( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(7,5) C.eq \f(14,5) D．－eq \f(2,5)
二、填空题
7.eq \f(3－sin 70°,2－cs210°)的值是________．
8．函数f(x)＝cs x－sin2x－cs 2x＋eq \f(7,4)的最大值是______．
9．已知tan eq \f(θ,2)＝3，则eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝______.
10．已知sin22α＋sin 2αcs α－cs 2α＝1，α∈(0，eq \f(π,2))，则α＝________.
三、解答题
11．求证：eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4 A.
12．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(4,5)，eq \f(5π,4)能力提升
13．求值：cs 20°cs 40°cs 80°.
14．求值：tan 70°·cs 10°·(eq \r(3)tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2·α,2n＋1) (n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cs α sin α (2)1±sin 2α (3)eq \f(1－cs 2α,2) eq \f(1＋cs 2α,2)
作业设计
1．B 2.A
3．B [cs(eq \f(2π,3)＋2α)＝－cs(eq \f(π,3)－2α)＝－cs[2(eq \f(π,6)－α)]
＝－[1－2sin2(eq \f(π,6)－α)]＝2sin2(eq \f(π,6)－α)－1＝－eq \f(7,9).]
4．A [∵eq \f(1－tan θ,2＋tan θ)＝1，∴tan θ＝－eq \f(1,2).
∴eq \f(cs 2θ,1＋sin 2θ)＝eq \f(cs2θ－sin2θ,sin θ＋cs θ2)＝eq \f(cs θ－sin θ,cs θ＋sin θ)＝eq \f(1－tan θ,1＋tan θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝3.]
5．C [∵eq \f(5π,2)<θ<3π，|cs θ|＝eq \f(1,5)，
∴cs θ<0，cs θ＝－eq \f(1,5).
∵eq \f(5π,4)由sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,2)＝eq \f(3,5)，
∴sin eq \f(θ,2)＝－eq \f(\r(15),5).]
6．C [∵cs α＝eq \f(3,5)且α在第一象限，∴sin α＝eq \f(4,5).
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(7,25)，
sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(24,25)，
原式＝eq \f(1＋\r(2)cs 2αcs \f(π,4)＋sin 2αsin \f(π,4),cs α)＝eq \f(1＋cs 2α＋sin 2α,cs α)＝eq \f(14,5).]
7．2
解析 eq \f(3－sin 70°,2－cs210°)＝eq \f(3－sin 70°,2－\f(1＋cs 20°,2))＝eq \f(23－cs 20°,3－cs 20°)＝2.
8．2
解析 f(x)＝cs x－(1－cs2x)－(2cs2x－1)＋eq \f(7,4)＝－cs2x＋cs x＋eq \f(7,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x－\f(1,2)))2＋2.
∴当cs x＝eq \f(1,2)时，f(x)max＝2.
9．3
解析 eq \f(1－cs θ＋sin θ,1＋cs θ＋sin θ)＝eq \f(2sin2\f(θ,2)＋2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2),2cs2\f(θ,2)＋2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2))＝eq \f(2sin \f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2))),2cs \f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋sin \f(θ,2))))＝tan eq \f(θ,2)＝3.
10.eq \f(π,6)
解析 ∵sin22α＋sin 2αcs α－(cs 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcs2α＋2sin αcs2α－2cs2α＝0.
∵α∈(0，eq \f(π,2))．∴2cs2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝eq \f(1,2)(sin α＝－1舍)．
∴α＝eq \f(π,6).
11．证明 ∵左边＝eq \f(3－4cs 2A＋2cs2 2A－1,3＋4cs 2A＋2cs2 2A－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs 2A,1＋cs 2A)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin2 A,2cs2 A)))2＝(tan2 A)2
＝tan4 A＝右边．
∴eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4 A.
12．解 eq \f(sin 2x－2sin2x,1＋tan x)＝eq \f(2sin xcs x－sin xcs x,cs x＋sin x)＝eq \f(sin 2xcs x－sin x,cs x＋sin x)＝sin 2xeq \f(1－tan x,1＋tan x)＝sin 2xtaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1))taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))，
∵eq \f(5π,4)∴－eq \f(3π,2)又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－eq \f(3,4).
∴原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(16,25)－1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝－eq \f(21,100).
13．解 原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)
＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(1,8).
14．解 原式＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°,cs 20°)－1))
＝eq \f(sin 70°,cs 70°)·cs 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)\f(sin 20°－cs 20°,cs 20°)))
＝eq \f(cs 20°,sin 20°)·cs 10°·2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(\r(3),2)sin 20°－\f(1,2)cs 20°,cs 20°)))
＝eq \f(2cs 10°·sin－10°,sin 20°)＝eq \f(－sin 20°,sin 20°)＝－1.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案