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数学八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质公开课ppt课件
展开1.探究并证明角的平分线的判定.(重点) 2.会用角的平分线的判定解决实际问题.(难点) 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处?
作出公路和铁路相交的角的平分线,按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
知识点1 角平分线的判定定理
几何表示:如图,∵点P是∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
如图,点P是∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线OC上.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中, PE=PD, PO=PO,∴Rt△PEO≌Rt△PDO(HL). ∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.
正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线,从位置上你能观察出什么结论?
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
过交点分别作三角形三边的垂线,测量一下每一组垂线段,从大小上你能观察出什么结论?
如图,△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA的距离相等.
证明:过点P作PM⊥BC,PN⊥AC,PO⊥AB,垂足分别为点M,N,O.
∵AD为△ABC的角平分线, ∴PN=PO.∵BE为△ABC的角平分线, ∴PM=PO.∵CF为△ABC的角平分线, ∴PM=PN.∴PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
1、判断题:(1)如图1,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.( )(2)如图2,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.( )
如图,P是△ABC外部一点,PD⊥AB,交AB的延长线于点D,PE⊥AC,交AC的延长线于点E,PF⊥BC于点F,且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法:①点P在∠DBC的平分线上;②点P在∠BCE 的平分线上;③点P在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F且DB=DC.求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F, ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中, BE=CF, DB=DC, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上,即AD是∠BAC的平分线.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
如图,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=( ).
如图,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.求证:AC平分∠BAD.
证明:∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠EDC=180°, ∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD,CF⊥AB, ∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中, ∠CFB=∠CED, ∠FBC=∠EDC, BC=DC, ∴△BCF≌△DCE(AAS). ∴CF=CE,即AC平分∠BAD.
如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.
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