人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算精品导学案

2．2.3　向量数乘运算及其几何意义

学习目标　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．

知识点一　向量数乘的定义

思考1　实数与向量相乘结果是实数还是向量？

答案　向量．

思考2　向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？

答案　3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．

－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．

思考3　λa的几何意义是什么？

答案　λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．

当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍．

梳理　向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa (a≠0)的方向

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.

知识点二　向量数乘的运算律

思考　类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？

答案　结合律，分配律．

梳理　向量数乘运算律

(1)λ(μa)＝(λμ)a；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

知识点三　向量共线定理

思考1　若b＝2a，b与a共线吗？

答案　根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．

如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

思考2　若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa？若b与向量a共线呢？

答案　若b与非零向量a共线，存在λ满足b＝λa；若b与向量a共线，当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

梳理　(1)向量共线定理

向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

(2)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

1．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)

提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．

2．若b＝λa，则a与b共线．(　√　)

提示　由向量共线定理可知其正确．

3．若λa＝0，则a＝0.(　×　)

提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.

类型一　向量的线性运算

例1　(1)3(6a＋b)－9＝________.

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

答案　9a

解析　3(6a＋b)－9＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______.

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

答案　4b－3a

解析　由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，

所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.

反思与感悟　向量线性运算的基本方法

(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．

(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．

跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.

考点　向量的线性运算及其应用

题点　向量的线性运算

解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a

＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.

类型二　向量共线的判定及应用

命题角度1　判定向量共线或三点共线

例2　已知非零向量e1，e2不共线．

(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线．

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理判定向量共线

解　∵b＝6a，∴a与b共线．

(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理判定三点共线

证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，

∴，共线，且有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

反思与感悟　(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．

(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．

跟踪训练2　已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理判定三点共线

答案　A，B，D

解析　∵＝e1＋2e2，＝＋

＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，

∴，共线，且有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

命题角度2　利用向量共线求参数值

例3　已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，

∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，

由于e1与e2不共线，只能有

∴k＝±1.

反思与感悟　利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线⇔b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．

跟踪训练3　设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

解　d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)

＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，

要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.

因为e1与e2不共线，

所以得λ＝－2μ.

故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.

类型三　用已知向量表示其他向量

例4　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)

A.＋ B.－

C.－ D.＋

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　D

解析　示意图如图所示，

由题意可得＝＋

＝＋

＝＋(－)＝＋.

跟踪训练4　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

解　因为＝＝＝(－)

＝(a－b)，

所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.

因为＝＝，

所以＝＋＝＋

＝＝(＋)＝(a＋b)．

＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.

1．下列各式计算正确的有(　　)

(1)(－7)6a＝－42a；

(2)7(a＋b)－8b＝7a＋15b；

(3)a－2b＋a＋2b＝2a；

(4)4(2a＋b)＝8a＋4b.

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

答案　C

解析　(1)(3)(4)正确，(2)错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.

2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于(　　)

A.B.C．2D.

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　C

解析　如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C.

3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)

A．k＝0 B．k＝1

C．k＝2 D．k＝

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

答案　D

解析　当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.

∴n＝2m，此时，m，n共线．

4．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　)

A.与 B.与

C.与 D.与

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理判定向量共线

答案　B

解析　因为＋＋＝，

所以＋＋＋＝0，

即－2＝，所以与共线．

5.如图所示，已知＝，用，表示.

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

解　＝＋＝＋

＝＋(－)＝－＋.

1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．

2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．

3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．

4．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线⇔m＋n＝1.

一、选择题

1．下列说法中正确的是(　　)

A．λa与a的方向不是相同就是相反

B．若a，b共线，则b＝λa

C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a

D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|

考点　向量数乘的定义及运算

题点　向量数乘的定义及几何意义

答案　D

解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.

2．3(2a－4b)等于(　　)

A．5a＋7b B．5a－7b

C．6a＋12b D．6a－12b

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

答案　D

解析　利用向量数乘的运算律，可得3(2a－4b)＝6a－12b，故选D.

3．(2017·安徽太和中学高一期中)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ的值为(　　)

A．－1 B．2

C．－2或1 D．－1或2

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

答案　D

解析　因为A，B，C三点共线，

所以存在实数k使＝k.

因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，

所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．

因为a与b不共线，所以

解得λ＝2或λ＝－1.

4．(2017·江西赣州高三二模)如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　　)

A．－a＋b B.a－b

C.a＋b D．－a＋b

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　D

解析　＝＋＝＋

＝(－)－＝－＋

＝－a＋b，

故选D.

5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)

A．a－b

B.a－b

C．a＋b

D.a＋b

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　D

解析　连接CD，OD，如图所示．

∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，

∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×60°＝30°.

∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.

由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.

由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，

∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，

∴四边形ACDO为平行四边形，

∴＝＋＝＋＝a＋b.

6．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　)

①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na；

③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na，则m＝n.

A．②④B．①②C．①③D．③④

考点　向量数乘的定义及运算

题点　向量的数乘运算及运算律

答案　B

解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．

7．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b B.a＋b

C.a＋b D.a＋b

考点　向量的线性运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　D

解析　∵△DEF∽△BEA，

∴＝＝，∴DF＝AB，

∴＝＋＝＋.

∵＝＋＝a，＝－＝b，

联立得＝(a－b)，＝(a＋b)，

∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.

二、填空题

8．(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝________.

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

答案　a＋10b

9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

答案　

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，

又∵向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，

使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，

则解得λ＝μ＝.

10．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.

考点　向量共线定理及其应用

题点　利用向量共线定理求参数

答案　3

解析　∵＋＋＝0，

∴点M是△ABC的重心．

∴＋＝3，

∴m＝3.

11．若向量a与b的夹角为45°，则2a与－3b的夹角是________．

考点　向量数乘的定义及运算

题点　向量数乘的定义及几何意义

答案　135°

解析　如图所示，可知2a与－3b的夹角是135°.

三、解答题

12．计算：

(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

(2)－；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

考点　向量的线性运算及应用

题点　向量的线性运算

解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

(2)原式＝－

＝－

＝a＋b－a－b＝0.

(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c

＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)

＝6a＋2b.

13．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.

考点　向量共线定理及应用

题点　用已知向量表示未知向量

解　如图，设＝a，＝b.

∵M，N分别是DC，BC的中点，

∴＝b，＝a.

∵在△ADM和△ABN中，

即

①×2－②，得b＝(2c－d)，

②×2－①，得a＝(2d－c)．

∴＝d－c，＝c－d.

四、探究与拓展

14．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．

考点　向量共线定理及其应用

题点　向量共线定理在平面几何中的应用

答案　3

解析　设＝k，0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，

∵＝λ＋μ，且与不共线，

∴∴t＝λ－μ＝3k.

又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.

故t＝λ－μ的最大值为3.

15．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．

考点　向量共线定理及其应用

题点　向量共线定理在平面几何中的应用

证明　如图所示．

∵＝＋＋

＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)

＝－8a－2b

＝2(－4a－b)，

∴＝2.

∴与共线，且||＝2||.

又∵这两个向量所在的直线不重合，

∴AD∥BC，且AD＝2BC.

∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．