高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算学案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算学案设计

临清三中数学组 编写人 刘桂江 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 一、教学内容分析 实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。 二、教学目标设计 1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 三、教学重点与难点 重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 四、教学用具准备 多媒体、实物投影仪 五、教学流程设计 向量平行的充要条件 情境设置 引入定义 数乘向量的运算律 运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题) 六、教学过程设计 1．设置情境： 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。 　　师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 　　生：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反。 　　师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 2．探索研究 1）定义： 请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 　　可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。 　　实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下： 　　（1）. 　　（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，. 2）运算律： 　　问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 　　生：，. 　　师：设、为任意向量，、为任意实数，则有： 　　（1）；　（2）；　（3）. 通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。 小练习1： 计算：（1）； （2）； （3）. 　　3）向量平行的充要条件： 　　请同学们观察，，回答、有何关系？ 　　生：因为，所以、是平行向量. 　 引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？ 　　生：可以！因为、平行，它们的方向相同或相反. 　　师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得. 　　对此定理的证明，是两层来说明的： 　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行. 　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使. 小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行． 　 解：∵ 　 ∴与平行. 4）单位向量： 单位向量：模为1的向量. 向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作. 思考：如何用来表示？ （） 3．例题与练习： 题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量： 用、表示； （2）用、表示. 题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明： 题3：如图，已知，，，求证：∽ 练习： P145 1、2、3、4 4．课堂小结： （1）与的积还是向量，与是共线的； （2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题； 　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 5．作业布置： 练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5. P89习题3 B组 2、3. 6．拓展思考题： 设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。 七、教学建议与说明 1．从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。如可以通过物理中力与加速度的关系，位移与速度的关系等实际问题引入实数与向量的积。 　　2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。 　　3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。 临清三中数学组 编写人 刘桂江 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课前预习学案 预习目标： 通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。 预习内容： 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。 　　师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 生： 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积） 课内探究学案 学习目标： 1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 学习过程： 1、探索研究 1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 　　可根据小学算术中的解释，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。 　　实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下： 　　（1） . 　　（2） . 2）运算律： 　　问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 　　生： . 　　师：设、为任意向量，、为任意实数，则有： 　　（1）；　（2）；　（3）. 通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。 小练习1： 计算：（1）； （2）； （3）. 　　3）向量平行的充要条件： 　　请同学们观察，，回答、有何关系？ 　　生： . 　 引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？ 　　生： . 　　师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得. 　　对此定理的证明，是两层来说明的： 　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行. 　　其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使. 小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行． 　 解：∵ 　 ∴与平行. 4）单位向量： 单位向量：模为1的向量. 向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作. 思考：如何用来表示？ 2．例题与练习： 题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量： 用、表示； （2）用、表示. 题2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明： 题3：如图，已知，，，求证：∽ 练习： P145 1、2、3、4 3．课堂小结： （1）与的积还是向量，与是共线的； （2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题； 　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 4．作业布置： 练习部分 P88-89习题3 A组 2、3、4、5. P89习题3 B组 2、3. 5．拓展思考题： 设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。