数学人教版新课标A第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算优秀学案设计

2．2.2　向量减法运算及其几何意义

学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．

知识点一　相反向量

思考　实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？

答案　相反向量．

梳理　(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．

(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.

②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

③零向量的相反向量仍是零向量．

知识点二　向量的减法

思考　根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量a－b?

答案　(1)利用平行四边形法则．

如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，以，为邻边作平行四边形OAEC，

则＝a－b.

(2)利用三角形法则．

如图，在平面内任取一点O，作＝a，

＝b，则＝a－b.

知识点三　|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系

思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？

答案　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

梳理　当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.

当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.

故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①

因为|a－b|＝|a＋(－b)|，

所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，

即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②

将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

1．相反向量就是方向相反的向量．(　×　)

提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．

2．向量与是相反向量．(　√　)

提示　与大小相等、方向相反．

3．－＝，－(－a)＝a.(　√　)

提示　根据相反向量的定义可知其正确．

4．两个相等向量之差等于0.(　×　)

提示　两个相等向量之差等于0.

类型一　向量减法的几何作图

例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

考点　向量的减法运算及其应用

题点　求作差向量

解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

引申探究

若本例条件不变，则a－b－c如何作？

解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.

反思与感悟　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．

跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a.

考点　向量的减法运算及其应用

题点　求作差向量

解　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，

则＝＋＝b＋c，

＝－＝b＋c－a.

方法二　作＝＝b，

连接AD，则＝－＝c－a，

＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.

类型二　向量减法法则的应用

例2　化简下列式子：

(1)－－－；

(2)(－)－(－)．

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.

(2)原式＝－－＋

＝(－)＋(－)＝＋＝0.

反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．

跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－)．

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

解　(1)(－)－(－)

＝－＝.

(2)(＋＋)－(－－)

＝＋－＋(＋)

＝＋－＋

＝－＋＝＋＋

＝＋＝0.

类型三　向量减法几何意义的应用

例3　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．

考点　向量减法的定义及其几何意义的应用

题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

解　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.

当与同向时，|－|＝3；

当与反向时，|－|＝15.

∴|－|的取值范围为[3,15]．

反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.

(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.

(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.

跟踪训练3　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是(　　)

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形

考点　向量减法的定义及其几何意义的应用

题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

答案　B

解析　∵＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，

∴||＝||.∴四边形ABCD为矩形.

1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　)

A．a＋b和a－b

B．a＋b和b－a

C．a－b和b－a

D．b－a和b＋a

考点　向量减法的定义及其几何意义

题点　向量减法的定义及其几何意义

答案　B

解析　由向量的加法、减法法则，得

＝＋＝a＋b，

＝－＝b－a.

故选B.

2.－＋＋等于(　　)

A.B.C.D.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

答案　B

3．下列等式成立的个数是(　　)

①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.

A．5B．4C．3D．2

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

答案　B

解析　由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．

4.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

解　∵四边形ACDE是平行四边形，

∴＝＝c，

＝－＝b－a，

＝－＝c－a，

＝－＝c－b，

∴＝＋＝b－a＋c.

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.

一、选择题

1．化简－＋所得的结果是(　　)

A.B.C．0D.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法表示向量

答案　C

解析　－＋＝＋＝0.

2．在平行四边形ABCD中，＋－等于(　　)

A.B.C.D.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　几何图形中的向量加、减法运算

答案　C

解析　在平行四边形ABCD中，＝，＝，

所以＋－＝(－)＋＝.

3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)

A．1B．2C.D.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

答案　D

解析　如图，作菱形ABCD，

则|－|＝|－|

＝||＝.

4．(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为的是(　　)

①＋－；②－；③＋；④－.

A．①④B．①②C．②③D．③④

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

答案　A

解析　因为＋－＝－＝＋＝，

所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.

5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)

A.＋＋＝0

B.－＋＝0

C.＋－＝0

D.－－＝0

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　几何图形中的向量加、减法运算

答案　A

解析　＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.

6．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)

A．[3,8] B．(3,8)

C．[3,13] D．(3,13)

考点　向量减法的定义及几何意义

题点　向量减法的三角不等式

答案　C

解析　∵||＝|－|且

|||－|||≤|－|≤|A|＋||，

∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.

7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A．a－b＋c

B．b－(a＋c)

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

考点　向量加减法的综合运算及应用

题点　用已知向量表示未知向量

答案　A

二、填空题

8．化简：(1)＋－＝________；(2)－－－＝________.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

答案　(1)0　(2)

解析　(1)＋－＝＋＝0；

(2)－－－＝(－)－(＋)

＝－0＝.

9．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法运算求向量的模

答案　13

解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，

∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.

∵＝a，＝b，

∴a－b＝－＝，

∴|a－b|＝||＝13.

10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　几何图形中向量的加、减法运算

答案　

11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.

考点　向量减法的定义及其几何意义的应用

题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

答案　2

解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，∴||＝||＝||＝2.

12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则(1)|a＋b＋c|＝________；

(2)|a－b＋c|＝______.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法运算求向量的模

答案　(1)2　(2)2

解析　(1)由已知得a＋b＝＋＝，

∵＝c，∴延长AC到E，

使||＝||.

则a＋b＋c＝，

且||＝2.

∴|a＋b＋c|＝2.

(2)作＝，连接CF，

则＋＝，

而＝－＝－＝a－b，

∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.

∴|a－b＋c|＝2.

13.如图所示，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．(填序号)

①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　几何图形中向量的加、减法运算

答案　①

解析　∵－＋＝＋＝，

＋＝＋＝≠，

－＝≠，＋＝≠，

∴填①.

三、解答题

14．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，＝a，＝b.

(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直；

(2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|.

考点　向量减法的定义及其几何意义的应用

题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

解　(1)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.

(2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，b应互相垂直．