第4章三角函数专练9—三角函数、解三角形综合练习3大题-2021届高三数学一轮复习
展开第4章三角函数专练9三角函数、解三角形综合练习3
1．的内角、、的对边分别为、、．已知，，求．
解：由，得到为钝角且，
利用正弦定理，可变为：，
即有，
又，，是的内角，
故或（舍去），
所以，
解得．
2．设的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
解：（1）证明：，
，
，
，
．
；
（2）解：
．
3．在中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）由条件在中，，，，
利用正弦定理可得，即．
解得．
（Ⅱ）由余弦定理可得，即，
即．
解方程求得，或．
当时，此时，根据，可得，，
是等腰直角三角形，但此时不满足，故舍去．
当时，求得，，
，，满足条件．
综上，．
4．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
解：（Ⅰ）证明：由得：
；
两边同乘以得，；
；
即（1）；
根据正弦定理，；
，带入（1）得：；
；
（Ⅱ）；
；
，且，当且仅当时取等号；
又，；
；
由余弦定理，；
的最小值为．
5．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若的面积，求角的大小．
解：（Ⅰ）证明：，
，
，是三角形中的角，
，
；
（Ⅱ）解：的面积，
，
，
，
，
，或，
或．
6．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求的值；
（2）若的面积为3，求的值．
解：（1），由余弦定理可得：，，
又．．．可得，
，即．
．
，
．
．
或由，．
可得：，
，
，
，
，
，，．
．
（2），
解得．
．
7．设的内角、、的对边分别为、、，，且为钝角．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由和正弦定理可得，
，即
又为钝角，，，
，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，
，，
由二次函数可知
的取值范围为，
8．已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，且满足，．
（1）求角、、；
（2）若，求三角形的边长的值及三角形的面积．
解：（1）的三个内角为，，，且．
可得：，
由正弦定理化简得：，
，
，
．
．即，
，
，
由为锐角，可得，．
（2），，，
由正弦定理可得：，
三角形的面积．
9．已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．
（Ⅰ）求角；
若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．
解：（Ⅰ）由已知．
所以：，
由余弦定理得，
所以，
即，
，
，
所以：，
即：．
（Ⅱ）由已知，当有且只有一解时，或，
所以；
当，．
由余弦定理可得，
所以，当且仅当时，等号成立．
三角形面积为．
10．如图，、、、为平面四边形的四个内角．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，，，求的值．
证明：（Ⅰ）．等式成立．
（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ）可知：，连结，在中，有，，，，，
在中，有，
所以，
则：．
于是，
连结，同理可得：，
于是．
所以．
11．已知斜内角，，的对边分别是，，．
证明：；
（Ⅱ）若且，，求的面积．
解：证明：由，得，
即．
即．
解：因为，所以，
，，
所以，
因为，所以
由得．
所以，
代入正弦定理可得，，所以．
