2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质


1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
x|x∈R，且x

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；
为减
[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减
为增
对称中心
(kπ，0)


对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ


[小题体验]
1．(2019·徐州调研)函数f(x)＝3sin的最小正周期为________．
答案：4π
2．函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：
3．函数y＝sin的图象的对称轴是________．
解析：y＝sin＝cos x，根据余弦函数的性质可知，y＝sin图象的对称轴是x＝kπ，k∈Z.
答案：x＝kπ，k∈Z
4．(2019·苏州调研)若函数f(x)＝sin πx，x∈，则f(x)的值域为________．
解析：函数f(x)＝sin πx，
∵x∈，∴πx∈，∴≤sin πx≤1.
即f(x)的值域为.
答案：

1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数y＝tan x的值域为________．
解析：作出正切函数在，内的图象，根据图象可以得到函数的值域为 (－∞，－]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)
2．(2019·常州调研)已知函数f(x)＝sin，则f(x)的单调递增区间为________________．
解析：函数f(x)＝sin＝－sin，
由2kπ＋≤4x－≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z

　
[题组练透]
1．(2019·扬州中学检测)函数y＝tan的定义域为________________．
解析：由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
故所求定义域为.
答案：
2．求函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域．
解：由得
所以－3≤x＜－或0＜x＜.
所以函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为∪.
[谨记通法]
(1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，要注意本身的 要求．
(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．
　
[典例引领]
1．(2019·淮安联考)已知函数f(x)＝2cos，x∈，则f(x)的值域是________．
解析：∵x∈，∴x＋∈，
∴cos∈，
∴2cos∈[－1,2]，故f(x)的值域是[－1,2]．
答案：[－1,2]
2．(2019·徐州调研)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．
解析：由正弦函数的性质知，
当x∈时，sin x∈.
∵y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1
＝22＋，
∴当sin x＝时，ymin＝；当sin x＝1或－时，ymax＝2.
答案：　2
[由题悟法]
三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数来求．
[即时应用]
1．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
解析：由x∈，知x＋∈.
因为x＋∈时，f(x)的值域为，
所以由函数的图象知≤a＋≤，所以≤a≤π.
答案：
2．求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．
解：令t＝sin x，因为|x|≤，所以t∈.
所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.
所以函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.
　

[锁定考向]
三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期性；
(2)三角函数的对称性；
(3)三角函数的单调性．　　　 　
[题点全练]
角度一：三角函数的周期性
1．(2019·南京调研)函数y＝tan的最小正周期是________．
解析：函数y＝tan＝－tan的最小正周期是＝1.
答案：1
角度二：三角函数的对称性
2．若函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝________.
解析：因为f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，所以θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)．又|θ|＜，所以θ＝.
答案：
角度三：三角函数的单调性
3．已知f(x)＝sin，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为.
答案：
4．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：因为f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝.
答案：
[通法在握]
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
2．求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关]
　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：因为f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2.
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，k∈Z，
所以cos φ＝0，因为0＜φ＜，所以φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜π.
所以＋φ＝，φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·南通调研)已知函数y＝cos aπx(a＞0)的最小正周期为2，则实数a＝________.
解析：∵函数y＝cos aπx(a＞0)的最小正周期为＝2，∴a＝1.
答案：1
2．(2018·南京名校联考)函数y＝tan x，x∈的值域是________．
解析：函数y＝tan x在区间上单调递增，所以值域是[0,1]．
答案：[0,1]
3．(2018·南京调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．
解析：连结AB，设AB与x轴的交点为C，则由∠AOB＝，得CO＝CA＝CB.又OA＝CA，所以△AOC是高为的正三角形，从而OC＝2，所以该函数的最小正周期是4.
答案：4


4．(2018·苏北四市调研)函数y＝3sin x＋cos x的单调递增区间是________．
解析：化简可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈，所以函数的单调递增区间是.
答案：
5．已知函数f(x)＝sin，其中x∈.若f(x)的值域是，则α的取值范围是________．
解析：若－≤x≤α，则－≤2x＋≤2α＋.因为当2x＋＝－或2x＋＝时，sin＝－，所以要使f(x)的值域是，则≤2α＋≤，即≤2α≤π，所以≤α≤，即α的取值范围是.
答案：
6．下列正确命题的序号为________．
①y＝tan x为增函数；
②y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为；
③在x∈[－π，π]上y＝tan x是奇函数；
④在上y＝tan x的最大值是1，最小值为－1.
解析：函数y＝tan x在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，故②正确；当x＝－，时，y＝tan x无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．
答案：②④
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·如东中学检测)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________．
解析：由y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，t∈[－1,1]，则有y＝t2＋t－1＝2－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈.
答案：
2．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f＝________.
解析：由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，
又由题图知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos πx，故f＝cos＝.
答案：
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f＝f，则f＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，所以该函数图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故f＝±2.
答案：－2或2
4．(2018·通州期末)已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于M对称，在区间上是单调函数，则φ＝________，ω＝________.
解析：由f(x)是R上的偶函数，得φ＝＋kπ，k∈Z.
∵0≤φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝sin＝cos ωx.
∵函数f(x)的图象关于M对称，
∴ω＝＋kπ，k∈Z，即ω＝＋k，k∈Z.
又f(x)在区间上是单调函数，
∴≥，即T≥π，
∴0＜ω≤2.故ω＝2或.
答案：　2或
5．(2019·海安模拟)函数f(x)＝sin的图象在区间上的对称轴方程为________．
解析：对于函数f(x)＝sin的图象，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
令k＝0，可得函数f(x)在区间上的对称轴方程为x＝.
答案：x＝
6．(2018·镇江一中测试)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f＝________.
解析：由于角φ的终边经过点P(－4,3)，所以cos φ＝－.再根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得＝2×，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以f＝sin＝cos φ＝－.
答案：－
7．(2019·阜宁中学检测)若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，则k＝________.
解析：直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图象不相交，等价于当x＝时，函数y＝tan无意义，即2×＋＝＋mπ，m∈Z，∴k＝m＋，m∈Z.
当m＝0时，k＝，满足条件．
当m＝－1时，k＝－，满足条件．
当m＝1时，k＝，不满足条件．
故满足条件的k＝或－.
答案：或－
8．(2019·常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________.
解析：设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象与x轴的交点坐标分别为A(x1,0)，B(x3,0)，C(x2,0)，
则
①－②得－x3＝3x1，
将x3＝－3x1代入②，得x2＝5x1，
所以T＝x2－x3＝8x1，所以ω＝＝，
故f(x)＝sin.
由图象可知f(x1)＝0，所以sin＝0，
令＋φ＝kπ，k∈Z，
得φ＝kπ－，k∈Z.
又0＜φ＜π，所以φ＝.
答案：
9．(2019·宿迁中学调研)已知函数f(x)＝sin 3x＋cos 3x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出取得最值时x的值．
解：(1)f(x)＝sin 3x＋cos 3x
＝2
＝2sin.
由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得－≤x≤＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)∵x∈，∴3x＋∈.
当3x＋＝－或，即x＝－或时，f(x)min＝－；
当3x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.
10．(2018·清江中学测试)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
解：(1)因为x∈，所以2x＋∈.
所以sin∈，
又因为a＞0，所以－2asin∈[－2a，a]，
所以f(x)∈[b,3a＋b]．
又因为－5≤f(x)≤1，所以b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)知a＝2，b＝－5，所以f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0，得g(x)＞1，
所以4sin－1＞1，所以sin＞，
所以2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z.
当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，
所以g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
当2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋，k∈Z，即kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减．
所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
综上，g(x)的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．函数y＝tan(sin x)的值域为________．
解析：因为－1≤sin x≤1，所以sin x∈.又因为y＝tan x在上单调递增，所以tan(－1)≤y≤tan 1，故函数的值域是[－tan 1，tan 1]．
答案：[－tan 1，tan 1]
2．(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝sin(0≤x＜π)，且f(α)＝f(β)＝(α≠β)，则α＋β＝________.
解析：因为0≤x＜π，所以2x＋∈，所以由f(x)＝得2x＋＝或，解得x＝或，由于f(α)＝f(β)＝(α≠β)，所以α＋β＝＋＝.
答案：
3．(2019·扬州调研)已知函数f(x)＝1＋cos 2x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝1＋cos 2x－2sin2
＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∴T＝＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．
由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝－2，
又f＝1，f(π)＝，
∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，
即方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解．
∴实数m的取值范围为(－2,1]．