2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第11章第1节　随机事件的概率

第一节　随机事件的概率

[最新考纲]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．

(对应学生用书第188页)

1．概率

(1)定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，有0≤P(A)≤1.

(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

2．互斥事件与对立事件

(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．

(2)对立事件：在每一次试验中，两个事件不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率：P(A)＝1.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.

(4)互斥事件的概率加法公式：

①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．

②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．

(5)对立事件的概率：P()＝1－P(A)．

1．辨析两组概念

(1)频率与概率

①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；

②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；

③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．

(2)互斥事件与对立事件

①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；

②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．

2．概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件． (　　)

(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件． (　　)

(3)事件发生的频率与概率是相同的． (　　)

(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0＜P(A)＜1. (　　)

[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

D　[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]

2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.

根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．

　[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是＝.]

3．一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.(结果用最简分数表示)

　[P(A)＝，P(B)＝，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]

4．甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．

0.2　[事件“乙获胜”的对立事件是“甲不输”，根据对立事件的概率计算公式可得，乙获胜的概率为：1－0.8＝0.2.]

(对应学生用书第189页)

⊙考点1　随机事件之间的关系

　判断互斥、对立事件的两种方法

(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件．

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

　1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)

A．对立事件　 B．互斥但不对立事件

C．不可能事件 D．以上都不对

B　[事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，两者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得红牌，所以二者不是对立事件，故选B.]

2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)

A．A与B是不可能事件

B．A＋B＋C是必然事件

C．A与B不是互斥事件

D．B与C既是互斥事件也是对立事件

C　[事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生，因此选项A，B，D错，C正确．]

3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡

A　[至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]

　第2题易误选B，造成错误的原因是忽视了事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生．

⊙考点2　随机事件的概率与频率

1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路

(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．

(2)由频率与概率的关系得所求．

2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点

求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．

　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

　本例第(1)(2)两问，考查了用频率估计概率，第(3)问解题的关键是列出保费与频率的关系，再根据公式求平均保费．

[教师备选例题]

　某花店每天以每朵5元的价格从农场购进若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．

(1)若花店一天购进17朵玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：朵，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：朵)，整理得下表：

①假设花店在这100天内每天购进17朵玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；

②若花店一天购进17朵玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

[解](1)当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85.

所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为y＝(n∈N*)．

(2)①这100天的日利润的平均数为

＝76.4(元)．

②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16朵，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.

　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，

所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

⊙考点3　互斥事件、对立事件的概率

　求复杂的互斥事件的概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

[解](1)P(A)＝，

P(B)＝＝，

P(C)＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.

∵A，B，C两两互斥，

∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＝，

故1张奖券的中奖概率约为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝，

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

　求概率时，若直接求解较复杂，可考虑先求其对立事件的概率．

　1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)

A．0.3　　　B．0.65　　　C．0.35　　　D．0.5

C　[事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，因此所求概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35，故选C.]

2．某城市2019年的空气质量状况如表所示：

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．

　[设“空气质量为优”为事件A，“空气质量为良”为事件B，“空气质量为良或优”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝＋＝，则P(C)＝P(A＋B)＝＋＝.]