第五章 三角函数专练9—三角函数大题专练(4)-2022届高三数学一轮复习
展开第五章 三角函数专练9—三角函数大题专练(4)
1.已知向量,,设函数.
(1)若,求函数的最大值和最小值;
(2)若,且,求的值.
解:(1)因为向量,
则函数
,(3分)
若,则,
所以当,即时,;
当,即时,.(6分)
(2)由,得,
因为,则,又,
所以,(8分)
则,(9分)
所以.(12分)
2.已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)若,,,求的值.
解:(Ⅰ)
.
函数的最小正周期;
由,
得,,
的单调递减区间为,,;
(Ⅱ)由,得,则,
又,,则,
,
故
,;
,
.
3.某同学用”五点法”画函数,在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表所示.
0 | |||||
| |||||
0 | 2 | 0 | 0 |
(Ⅰ)直接写出表格中空格处的数以及的解析式;
(Ⅱ)将图象上所有的点向右平移个单位长度,得到的图象,若图象的一条对称轴方程为,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意的,恒有,求的最大值.
解:(Ⅰ)由题意空格处的,,
周期,故,
当时,,而,解得:,
故;
(Ⅱ)由题意,
当时,,,
解得:,,
由于,故;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:,
原问题转化为对任意的恒成立,
即在,上单调递增,
由,
令,解得:,
故的最大值是.
4.已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中,选择可以确定和值的两个条件作为已知.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数在区间,上是增函数,求实数的最大值
条件①:最小正周期为;
条件②:最大值与最小值之和为0;
条件③:.
解:函数,
选条件①②:由于最小正周期为,所以,所以;
由最大值与最小值之和为0,
,,
故,解得.
所以.
故(Ⅰ).
(Ⅱ)由于函数在区间,上是增函数,
所以,
即,解得,
故的最大值为.
5.已知函数,,在一个周期内,当时,有最大值为2,当时,有最小值为.
(1)求函数表达式;
(2)并画出函数在一个周期内的简图.(用“五点法” ;
(3)当,时,求函数的最值.
解:(1)在1个周期内,当时有最大值为2,当时有最小值为,
所以,且函数的周期,所以.
把,代入,得,;
解得,,结合,取,得;
所以函数表达式为.
(2)由题意列表如下:
0 | |||||
0 | 2 | 0 | 0 |
描点、连线,画出函数在1个周期,上的简图如下:
(3),时,,,所以,,
所以,即时,为最小值;
,即时,为最大值.
所以,当时,有最小值为,当时,有最大值为2.
6.在①函数,的图象向右平移个单位长度得到的图象,图象关于原点对称;②向量,,,,,;
③函数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知______,函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若,且,求的值;
(2)求函数在,上的单调递减区间.
解:选条件①函数,的图象向右平移个单位长度得到的图象,图象关于原点对称.
由题意可得,解得,所以,所以.
由的图象关于原点对称,
可得,,由于,可得,
即;
(1)因为,且,所以,
,,
所以;
(2)由,,
可得,,
令,可得,令,可得.
所以函数在,上的单调递减区间为,,,.
选②向量,,,,,
,
由题意可得,解得,即;
(1)因为,且,所以,
,,
所以;
(2)由,,
可得,,
令,可得,令,可得.
所以函数在,上的单调递减区间为,,,.
选③函数,
,
由题意可得,解得,即;
(1)因为,且,所以,
,,
所以;
(2)由,,
可得,,
令,可得,令,可得.
所以函数在,上的单调递减区间为,,,.
7.已知向量,,且.
(1)求的值;
(2)若,,且,求的值.
解:(1)因为,
所以,
所以,
所以,即.
(2)因为,,
所以,
因为,
所以,
所以,
因为,
所以,
因为,且,
所以,
因为,所以.
因为,所以.
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