知识点一　几种常见的函数模型

1．(必修1P102例3)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　D　)

A．收入最高值与收入最低值的比是31

B．结余最高的月份是7月

C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D．前6个月的平均收入为40万元

解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．

2．(必修1P104例5)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．

解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．

知识点二　　三种函数模型性质比较

3．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为1_024个．

解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝ek，

所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，

当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1 024.

4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直线t＝t0(0≤t0≤5)左侧部分阴影图形的面积的实际意义是在[0，t0]时间段内汽车行驶的里程．

解析：根据速率与时间的关系可得．

5．函数模型y＝0.25x，y＝log2x＋1，y＝1.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是y＝1.002x大于y＝0.25x的增长速度，y＝0.25x大于y＝log2x＋1的增长速度．

解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度关系可得．

解函数应用题的步骤

考向一　　一次函数、二次函数模型的应用

【例1】　(2019·山西运城模拟)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【解】　(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，

当且仅当x＝，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000.

因为400≤x≤600，所以当x＝400时，

S有最大值－40 000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．

在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．

(1)某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　C　)

A．4   B．5.5

C．8.5   D．10

(2)某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大(　B　)

A．8元/件   B．10元/件

C．12元/件   D．14元/件

解析：(1)由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.

(2)设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.

考向二　 分段函数模型的应用

【例2】　已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且

R(x)＝

(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【解】　(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)

＝－6x2＋384x－40，

当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)

＝－－16x＋7 360.

所以，W＝

(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，

所以Wmax＝W(32)＝6 104(万美元)；

②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，

由于＋16x≥2＝1 600，

当且仅当＝16x，

即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，

所以W取最大值为5 760.

综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6 104万美元．

1分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.

2构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理保证不重不漏.

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝

且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S元，则S＝200x－＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该项目不会获利．当x＝300时，S取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．

(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为＝

当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，取得最小值240.

当x∈[144,500]时，＝x＋－200

≥2－200＝200，当且仅当x＝.

即x＝400时，取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

考向三　　指数函数、对数函数模型的应用

【例3】　已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)．

(1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

【解】　(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，

当θ＝5时，2t＋＝，

令2t＝x(x≥1)，则x＋＝，

即2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1.

所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．

(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，

即m·2t＋≥2恒成立．

亦即m≥2恒成立．

令＝y，则0<y≤1，

∴m≥2(y－y2)恒成立，由于y－y2≤，

∴m≥.

因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.

　,

1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；

2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；

3y＝a1＋xn通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

(1)(2019·长沙雅礼中学二模)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　D　)

A．2017年   B．2018年

C．2019年   D．2020年

(2)我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的(　C　)

A.倍   B．10倍

C．10倍   D．ln倍

解析：(1)设经过x年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x＝200，

则x＝log1.12，即x＝＝≈≈4,2 016＋4＝2 020，故选D.

(2)由η＝10lg得I＝I010，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍，故选C.