第4章三角函数专练7—三角函数、解三角形综合练习1小题-2021届高三数学一轮复习
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1．已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于
A． B． C． D．3
2．已知方程在区间内只有一个实根，则的取值范围
A． B． C． D．
3．已知，且，则
A． B． C． D．
4．已知，且，为方程的两根，则的值为
A．3 B． C．2 D．
5．已知的外接圆半径为1，圆心为，且，则的面积为
A． B． C． D．
6．
A． B．1 C． D．
7．满足条件，的三角形的面积的最大值是
A． B．4 C．2 D．
8．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
9．在中，角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
10．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于
A． B． C． D．
11．如图中，已知点在边上，，，，，则等于
A．4 B．24 C． D．20
12．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于，且将三角形的面积分成两部分，则
A． B． C． D．
13．已知中，，，，在该三角形的三边上各取一点，，，使得为等边三角形，则的最小值为
A．10 B． C． D．
14．已知的内角，，满足，面积满足，记，，分别为，，所对的边，在下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
15．已知中，，，为边上的中线，且，则 ．
16．在锐角三角形中，，，分别为内角，，的对边，若，，，则 ．
17．在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是 ．
18．的垂心在其内部，，，则的取值范围是
19．如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为 ．
20．满足条件，的三角形的面积最大值是 ．
21．已知三角形中，，，则面积最大值是 ．
三角函数、解三角形综合练习1答案
1解：已知终边与单位圆的交点，且，，，
，．
则，
故选：．
2．解：利用半角公式可得：，
化为：，，，
，，
方程在区间内只有一个实根，
，解得：．故选：．
3．解：由题意，，
可得，令，
则原式化为，解得（舍去或．
故，则，即，
即，即，
解得或，则，故选：．
4．解：解方程得，，或，
，且，为方程的两根，，，
，故选：．
5．解：如图，；
由得：
①，②，③；
①两边平方得：；；；；
同理②③两边分别平方得：，；
；
．故选：．
6．解：
．故选：．
7．解：如图所示，，．
设，．，，
化为：．
可知：当且仅当取，三角形的面积的最大值．
故选：．
8．解：如图，设内接正边形的边长为，外切正边形的边长为，
可得，，
则，即，故选：．
9．解：在中，角，，的对边分别为，，，满足，
可得：，因为为锐角三角形，所以，
由正弦定理可得：．
故选：．
10．解：如图，，
．
在中，又，
．
在中，，，
．
．
河流的宽度等于．
故选：．
11．解：在中，，，，，
所以；
由余弦定理可得，
所以；
在中，由正弦定理得，
所以；
在中，，
所以，
解得，
所以．
故选：．
12．解：因为为的平分线，由角平分线的性质定理可得，
而，
可得，
在中，由正弦定理可得，
又，可得，
所以，可得，
故选：．
13．解：设等边三角形的边长为，，
则，
中，，，，
可得，则，
在直角三角形中，，
在三角形中，，，，，
则，
即为，
可得，
化为为辅助角），
当时，取得最小值．
故选：．
14．解：的内角，，满足，
，
，
，
，
化为，
．
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，
由，及正弦定理得，
即，
面积满足，
，即，
由可得，显然选项，不一定正确，
．，即，正确，
．，即，但，不一定正确，
故选：．
15．解：取的中点，得到，
连接，可得为的中位线，
，
，即，
，
，
根据勾股定理得：，
，
，
根据勾股定理得：，即，
则．
故答案为：．
16．解：由，，，
则，
由正弦定理和余弦定理可得，
，
即有，
解得或5，
当时，最大，由余弦定理可得
，即为钝角，不合题意，舍去；
当时，最大，由余弦定理可得
，即为锐角，合题意．
故答案为：5．
17．解：建立平面直角坐标系，如图所示，
菱形中，，，，；，；
又为边的中点，则，，
，，，当且仅当时取“”；
，菱形的面积为，
即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．
18．解：设，是高，就是、交点，
那么，，，，
所以，所以，
所以，．
在中，，，设
由正弦定理可得：
，，
故答案为：．
19．解：在中，设，，，，
余弦定理得，
为等腰直角三角形，
设，，，
由正弦定理得：，，
则，
可得，
可得，
，
当时，，
．
故答案为：．
20．解：设，则，由余弦定理可得．
由于三角形的面积为
．
再由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得，故．
再利用二次函数的性质可得，当时，函数取得最大值为，
故的最大值为，
故答案为．
21．解：三角形中，设角，，所对的边分别为，，，
，，
由余弦定理得：，
，
，
．
（当且仅当时取等号），
．
．
故答案为：2．
