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初中人教版4.1 几何图形综合与测试单元测试课堂检测
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这是一份初中人教版4.1 几何图形综合与测试单元测试课堂检测，共14页。试卷主要包含了如图，已知∠AOB等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．一个六棱柱的顶点个数、棱的条数、面的个数分别是（ ）
A．6、12、6B．12、18、8C．18、12、6D．18、18、24
2．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（ ）
A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形
3．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
4．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
5．如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，三个大小相同的长方形拼在一起组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份；再把第3个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分是大长方形面积的（ ）
A．B．C．D．
7．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
9．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）
A．56°B．68°C．28°D．34°
10．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEOB．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECDD．S四边形OCED＝CD•OE
二．填空题（共8小题）
11．如图，三棱锥有 个面，它们相交形成了 条棱，这些棱相交形成了 个点．
12．由5个棱长为1的小正方形组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙，如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为 ．
13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ．
14．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ ．
16．若一个棱柱有十个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为 cm．
17．流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为 ．
18．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝ °．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
21．已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
23．已知长方形的长为4cm．宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，
（1）求此几何体的体积；
（2）求此几何体的表面积．（结果保留π）
24．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
25．将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．
如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色．
（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）：
（2）请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：一个六棱柱的顶点个数是12，棱的条数是18，面的个数是8．
故选：B．
2．解：根据欧拉公式有：V+F﹣E＝2，
∵E＝18，
∴V+F＝2+18＝20，
①当棱柱是四棱柱时，V＝8，F＝6，V+F＝14，
②当棱柱是五棱柱时，V＝10，F＝7，V+F＝17，
③当棱柱是六棱柱时，V＝12，F＝8，V+F＝20，
∴有18条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形．
故选：C．
3．解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．
故选：C．
4．解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
5．解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；
故选：C．
6．解：阴影部分的面积是大长方形面积的：
（+）×，
＝×，
＝，
答：图中阴影部分的面积是大长方形面积的．
故选：D．
7．解：∵四个选项中只有AD⊥BC，
∴C正确．
故选：C．
8．解：根据以上分析露出的面积＝5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6＝36．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故选：A．
10．解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE，
但不能得出∠OCD＝∠ECD，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解：三棱锥有4个面，它们相交形成了6条棱，这些棱相交形成了4个点．故答案为4、6、4．
12．解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为4+4+3＝11，
故答案是：11．
13．解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
14．解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），
理由：如图，∵PA＝AQ，PB＝QB，
∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线AB垂直平分线段PQ，
∴PQ⊥AB．
15．解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
故答案为：125°．
16．解：∵棱柱共有10个顶点，
∴该棱柱是五棱柱，
∵所有的侧棱长的和是30cm，
∴每条侧棱长为30÷5＝6cm．
故答案为：6．
17．解：流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为点动成线．
故答案为：点动成线．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故答案为：56．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）这个几何体由 10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1个正方体只有一个面是黄色，有 2个正方体只有两个面是黄色，有 3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2，
故答案为：10；1，2，3；3200．
20．解：（1）如图所示：
（2）设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°．
21．解：
22．解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
23．解：长方形绕一边旋转一周，得圆柱．
（1）情况①：π×32×4＝36π（cm3）；
情况②：π×42×3＝48π（cm3）；
（2）情况①：
π×3×2×4+π×32×2
＝24π+18π
＝42π（cm2）；
情况②：
π×4×2×3+π×42×2
＝24π+32π
＝56π（cm2）．
24．解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；
（2）由题意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36条棱，
那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，
∴x+y＝14．
故答案为：6，6；E＝V+F﹣2；20；14．
25．解：（1）三面涂色8，8；
二面涂色24，12（n﹣2），
一面涂色24，6（n﹣2）2
各面均不涂色8，（n﹣2）3；
（2）当n＝7时，
6（n﹣2）2
＝6×（7﹣2）2
＝150，
所以一面涂色的小正方体有150个．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
棱等分数
4等分
n等分
3面涂色的正方体
个
个
2面涂色的正方体
个
个
1面涂色的正方体
个
个
各个面都无涂色的正方体
个
个
一．选择题（共10小题）
1．一个六棱柱的顶点个数、棱的条数、面的个数分别是（ ）
A．6、12、6B．12、18、8C．18、12、6D．18、18、24
2．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（ ）
A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形
3．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①
4．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
5．如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，三个大小相同的长方形拼在一起组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份；再把第3个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分是大长方形面积的（ ）
A．B．C．D．
7．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．10个棱长为1的正方体木块堆成如图所示的形状，则它的表面积是（ ）
A．30B．34C．36D．48
9．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）
A．56°B．68°C．28°D．34°
10．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO＝∠DEOB．CM＝MD
C．∠OCD＝∠ECDD．S四边形OCED＝CD•OE
二．填空题（共8小题）
11．如图，三棱锥有 个面，它们相交形成了 条棱，这些棱相交形成了 个点．
12．由5个棱长为1的小正方形组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙，如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为 ．
13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为 ．
14．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ ．
16．若一个棱柱有十个顶点，且所有侧棱长的和为30cm，则每条侧棱长为 cm．
17．流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为 ．
18．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝ °．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）这个几何体由 个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）这个几何体喷漆的面积为 cm2．
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．
（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．
21．已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．
22．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；
（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．
23．已知长方形的长为4cm．宽为3cm，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，
（1）求此几何体的体积；
（2）求此几何体的表面积．（结果保留π）
24．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
25．将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．
如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色．
（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）：
（2）请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：一个六棱柱的顶点个数是12，棱的条数是18，面的个数是8．
故选：B．
2．解：根据欧拉公式有：V+F﹣E＝2，
∵E＝18，
∴V+F＝2+18＝20，
①当棱柱是四棱柱时，V＝8，F＝6，V+F＝14，
②当棱柱是五棱柱时，V＝10，F＝7，V+F＝17，
③当棱柱是六棱柱时，V＝12，F＝8，V+F＝20，
∴有18条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形．
故选：C．
3．解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．
故选：C．
4．解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
5．解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；
故选：C．
6．解：阴影部分的面积是大长方形面积的：
（+）×，
＝×，
＝，
答：图中阴影部分的面积是大长方形面积的．
故选：D．
7．解：∵四个选项中只有AD⊥BC，
∴C正确．
故选：C．
8．解：根据以上分析露出的面积＝5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6＝36．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故选：A．
10．解：由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE，
但不能得出∠OCD＝∠ECD，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解：三棱锥有4个面，它们相交形成了6条棱，这些棱相交形成了4个点．故答案为4、6、4．
12．解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为4+4+3＝11，
故答案是：11．
13．解：解法一：连接EF．
∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，
∴AF＝AE；
∴△AEF是等腰三角形；
又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
∴AG是线段EF的垂直平分线，
∴AG平分∠CAB，
∵∠ABC＝40°
∴∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠CAB＝50°，
∴∠CAD＝25°；
在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，
∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
14．解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），
理由：如图，∵PA＝AQ，PB＝QB，
∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线AB垂直平分线段PQ，
∴PQ⊥AB．
15．解：由题意可得：AD平分∠CAB，
∵∠C＝90°，∠B＝20°，
∴∠CAB＝70°，
∴∠CAD＝∠BAD＝35°，
∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．
故答案为：125°．
16．解：∵棱柱共有10个顶点，
∴该棱柱是五棱柱，
∵所有的侧棱长的和是30cm，
∴每条侧棱长为30÷5＝6cm．
故答案为：6．
17．解：流星划过天空时留下一道明亮的光线，用数学知识解释为点动成线．
故答案为：点动成线．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故答案为：56．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）这个几何体由 10个小正方体组成．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 1个正方体只有一个面是黄色，有 2个正方体只有两个面是黄色，有 3个正方体只有三个面是黄色．
（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2，
故答案为：10；1，2，3；3200．
20．解：（1）如图所示：
（2）设∠A＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝x，
在△ABD中
∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，
又∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC＝2x，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中
∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°．
21．解：
22．解：（1）如图所示：PQ即为所求；
（2）如图所示：PR即为所求；
（3）∠PQC＝60°
理由：∵PQ∥CD，
∴∠DCB+∠PQC＝180°，
∵∠DCB＝120°，
∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．
23．解：长方形绕一边旋转一周，得圆柱．
（1）情况①：π×32×4＝36π（cm3）；
情况②：π×42×3＝48π（cm3）；
（2）情况①：
π×3×2×4+π×32×2
＝24π+18π
＝42π（cm2）；
情况②：
π×4×2×3+π×42×2
＝24π+32π
＝56π（cm2）．
24．解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；
（2）由题意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36条棱，
那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，
∴x+y＝14．
故答案为：6，6；E＝V+F﹣2；20；14．
25．解：（1）三面涂色8，8；
二面涂色24，12（n﹣2），
一面涂色24，6（n﹣2）2
各面均不涂色8，（n﹣2）3；
（2）当n＝7时，
6（n﹣2）2
＝6×（7﹣2）2
＝150，
所以一面涂色的小正方体有150个．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
棱等分数
4等分
n等分
3面涂色的正方体
个
个
2面涂色的正方体
个
个
1面涂色的正方体
个
个
各个面都无涂色的正方体
个
个
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