人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第4课时导学案

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第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式








问题：(1)在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，将得到怎样的结果？


(2)上述cs 2α的式子能否变成只含有sin α或cs α形式的式子呢？


提示：(1)sin(α＋α)＝sin αcs α＋cs αsin α，cs(α＋α)＝cs αcs α－sin αsin α，tan(α＋α)＝eq \f(tan α＋tan α,1－tan2α)，即sin 2α＝2sin αcs α，cs 2α＝cs2α－sin2α，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).


(2)根据同角的三角函数关系式可得cs 2α＝2cs2 α－1＝1－2sin2α.





1．二倍角的正弦、余弦、正切公式


2.余弦的二倍角公式的变形





3．正弦的二倍角公式的变形


(1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α).


(2)1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．


( )


(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )


(3)对于任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )


[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)且α≠±eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．


(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.


(3)×.当cs α＝eq \f(1－\r(3),2)时，cs 2α＝2cs α.


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．sin 15°cs 15°＝ .


eq \f(1,4) [sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)×2sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4).]


3.eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)＝ .


－eq \f(\r(2),4) [eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2)－eq \f(1＋cs\f(π,4),2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),4).]


4．已知tan 2α＝eq \f(1,3)，则tan α＝ .


－3±eq \r(10) [∵tan 2α＝eq \f(1,3)，∴eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(1,3)


∴1－tan2α＝6tan α，解得tan α＝－3±eq \r(10).]








【例1】 (1)cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为( )


A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)


C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)


(2)求下列各式的值：


①cs415°－sin415°；②1－2sin275°；③eq \f(1－tan275°,tan 75°)；


④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°).


(1)D [∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，


∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]


(2)[解] ①cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)·(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


②1－2sin275°＝1－(1－cs 150°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).


③eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)


＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).


④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)


＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)


＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.





对于给角求值问题，一般有两类：


1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.


2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.





eq \([跟进训练])


1．求下列各式的值


(1)cs 72°cs 36°；


(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).


[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).


(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)


＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.


【例2】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；


(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，求α.


[思路点拨] 依据以下角的关系设计解题思路求解：


(1)α＋eq \f(π,4)与2α＋eq \f(π,2)，α－eq \f(π,4)与2α－eq \f(π,2)具有2倍关系，用二倍角公式联系；


(2)2α＋eq \f(π,2)与2α差eq \f(π,2)，用诱导公式联系．


[解] (1)∵eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4).


∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＞0，


∴eq \f(3π,2)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(4,5)，


∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，


sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,25)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,25)＝－eq \f(31\r(2),50).


(2)∵sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1))


＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，


sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))


＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，


∴原式可化为1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，


解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2).


∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，


即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12).





1．在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．


[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcs 2α＝2×eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))＝－eq \f(336,625).


2．将例2(1)的条件改为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0＜x＜eq \f(π,4)，求eq \f(cs 2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))的值．


[解] ∵0＜x＜eq \f(π,4)，∴eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).


又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13).


又cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))


＝2×eq \f(5,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(120,169)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))


＝eq \f(5,13)，


∴原式＝eq \f(\f(120,169),\f(5,13))＝eq \f(24,13).





解决条件求值问题的方法


1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.


2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.











[探究问题]


1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？


提示：通常要切化弦后再进行变形．


2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？


提示：由复杂一侧向简单一侧推导．


【例3】 (1)化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝ .


(2)证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).


[思路点拨] (1)通分变形．


(2)eq \x(切化弦通分，构造二倍角的余弦)→eq \x(二倍角的正弦)→eq \x(约分求值)


(1)－tan 2θ [原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.]


(2)[证明] 左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)


＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)


＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)


＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)


＝－4eq \r(3)＝右边，


所以原等式成立．





证明三角恒等式的原则与步骤


1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.


2证明恒等式的一般步骤：


①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；


②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.





eq \([跟进训练])


2．求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；


(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.


[证明] (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)


＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)


＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)


＝cs 2Acs 2B＝右边，


∴等式成立．


(2)法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))


＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．


∴等式成立．


法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ


＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)


＝左边．


∴等式成立.








1．理解1个概念——二倍角


对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：


8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2·α,2n＋1)(n∈N*)．


2．活用1组公式——二倍角公式


在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).


3．把握2种思想


(1)换元思想；(2)整体思想．





1．已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为( )


A．2 B．－2


C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)


D [因为sin α＝3cs α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4).]


2．已知函数f(x)＝2cs2x－sin2x＋2，则( )


A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3


B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4


C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3


D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4


B [易知f(x)＝2cs2x－sin2x＋2＝3cs2x＋1＝eq \f(3,2)(2cs2x－1)＋eq \f(3,2)＋1＝eq \f(3,2)cs 2x＋eq \f(5,2)，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]


3．已知sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，那么sin θ＝ ，cs 2θ＝ .


eq \f(1,3) eq \f(7,9) [因为sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))2＝eq \f(4,3)，


即1＋2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝eq \f(4,3)，


所以sin θ＝eq \f(1,3)，


所以cs 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,9).]


4．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是 ．


eq \r(3) [∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcs α＝－sin α.


由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，


∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，


∴tan 2α＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).]


5．已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5).


(1)求tan α的值；


(2)求sin 2α＋cs 2α的值．


[解] (1)因为cs α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)＜α＜π，所以sin α＝eq \f(3,5)，


所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).


(2)因为sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，


cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，


所以sin 2α＋cs 2α＝－eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)＝－eq \f(17,25).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)


2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)


3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)
1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.


2.借助运算求值，提升数学运算素养.
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin αcs α
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
给角求值
给值求值、求角问题
化简证明问题