高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时导学案，共13页。

1．理解二倍角公式的推导．
2．掌握二倍角公式及变形公式，并能用这些公式解决相关问题．
二倍角公式
温馨提示：二倍角的“广义理解”
二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是eq \f(α,2)的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )
(3)对任意角α，总有tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).( )
(4)cs2α－sin2α＝1－2sin2α.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
题型一 给角求值
【典例1】 求下列各式的值：
(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)；
(2)1－2sin2750°；
(3)eq \f(2tan150°,1－tan2150°)；
(4)cs20°cs40°cs80°.
[思路导引] (1)逆用正弦的二倍角公式求解；(2)逆用二倍角余弦公式求解；(3)逆用二倍角正切公式求解；(4)需分子分母同乘2sin20°，凑正弦的二倍角公式求解．
[解] (1)原式＝eq \f(2sin\f(π,12)cs\f(π,12),2)＝eq \f(sin\f(π,6),2)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝cs(2×750°)＝cs1500°
＝cs(4×360°＋60°)＝cs60°＝eq \f(1,2).
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°
＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq \r(3).
(4)原式＝eq \f(2sin20°·cs20°·cs40°·cs80°,2sin20°)
＝eq \f(2sin40°·cs40°·cs80°,4sin20°)＝eq \f(2sin80°·cs80°,8sin20°)
＝eq \f(sin160°,8sin20°)＝eq \f(1,8).
(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用．
(2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．
[针对训练]
1．求下列各式的值．
(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝________；
(2)eq \f(1,2)－cs215°＝________；
(3)eq \f(1－tan215°,tan15°)＝________.
[解析] (1)∵sineq \f(3π,8)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝cseq \f(π,8)，
∴sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)＝eq \f(1,2)·2sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)
＝eq \f(1,2)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),4).
(2)原式＝eq \f(1,2)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,2)cs30°＝－eq \f(\r(3),4).
(3)原式＝eq \f(2,tan30°)＝2eq \r(3).
[答案] (1)eq \f(\r(2),4) (2)－eq \f(\r(3),4) (3)2eq \r(3)
题型二 条件求值
【典例2】 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α[思路导引] 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值，可求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，然后由二倍角公式，分别求出cs2α和sin2α，最后由两角和的余弦公式求解．
[解] ∵eq \f(π,2)≤α∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))>0，∴eq \f(3π,2)<α＋eq \f(π,4)∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－ eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))
＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5).
∴cs2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，
sin2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs2α－eq \f(\r(2),2)sin2α
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)－\f(7,25)))＝－eq \f(31\r(2),50).
[变式] 若本例条件不变，求eq \f(cs2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．
[解] 原式＝eq \f(cs2α－sin2α,sin\f(π,4)csα＋cs\f(π,4)sinα)
＝eq \r(2)(csα－sinα)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(6,5).
解决条件求值问题的方法
解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[针对训练]
2．已知eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值是________．
[解析] 由eq \f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(tanα,\f(tanα＋1,1－tanα))＝eq \f(tanα1－tanα,tanα＋1)＝
－eq \f(2,3)，得3tan2α－5tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－eq \f(1,3).
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝sin2αcseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)
＝eq \f(\r(2),2)(sin2α＋cs2α)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sinαcsα＋cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)))
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2tanα＋1－tan2α,tan2α＋1)))，
当tanα＝2时，上式＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2×2＋1－22,22＋1)))＝eq \f(\r(2),10)；
当tanα＝－eq \f(1,3)时，上式
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2＋1)))＝eq \f(\r(2),10).
综上，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10).
[答案] eq \f(\r(2),10)
题型三 化简问题
【典例3】 化简eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))).
[思路导引] 切化弦，统一角．
[解] 解法一：原式＝eq \f(2cs2α－1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(2cs2α－1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(2cs2α－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))＝eq \f(cs2α,cs2α)＝1.
解法二：原式＝eq \f(cs2α,2·\f(1－tanα,1＋tanα)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sinα＋\f(\r(2),2)csα))2)
＝eq \f(cs2α,\f(csα－sinα,csα＋sinα)sinα＋csα2)＝eq \f(cs2α,csα－sinαcsα＋sinα)
＝eq \f(cs2α,cs2α－sin2α)＝1.
化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角．
(2)降幂或升幂．
(3)一个重要结论：(sinθ±csθ)2＝1±sin2θ.
[针对训练]
3．化简：(1)eq \r(1＋sin20°)＋eq \r(1－sin20°)；
(2)eq \f(1＋sin4α＋cs4α,1＋sin4α－cs4α).
[解] (1)原式＝
eq \r(sin210°＋cs210°＋2sin10°cs10°)＋
eq \r(sin210°＋cs210°－2sin10°cs10°)
＝eq \r(sin10°＋cs10°2)＋eq \r(sin10°－cs10°2)
＝|sin10°＋cs10°|＋|sin10°－cs10°|
＝sin10°＋cs10°＋cs10°－sin10°
＝2cs10°.
(2)原式＝eq \f(1＋2sin2αcs2α＋2cs22α－1,1＋2sin2αcs2α＋2sin22α－1)
＝eq \f(2cs22α＋2cs2αsin2α,2sin22α＋2sin2αcs2α)
＝eq \f(2cs2αcs2α＋sin2α,2sin2αsin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α).
课堂归纳小结
1．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
(2)降幂公式
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
2．要牢记二倍角公式的几种变形
(1)sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(2)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
(3)cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).
1．sin15°sin75°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),4)
[解析] sin15°sin75°＝sin15°cs15°＝eq \f(1,2)×2sin15°cs15°＝eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(1,4).
[答案] B
2．sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)
[答案] B
3.eq \f(2sin2α,1＋cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)等于( )
A．tan2α B．tanα C．1 D.eq \f(1,2)
[解析] 原式＝eq \f(4sinαcsα,1＋2cs2α－1)·eq \f(cs2α,cs2α)
＝eq \f(2sinαcsα,cs2α)＝eq \f(sin2α,cs2α)＝tan2α.
[答案] A
4．设α是第四象限角，已知sinα＝－eq \f(3,5)，则sin2α，cs2α和tan2α的值分别为( )
A．－eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，－eq \f(24,7) B.eq \f(24,25)，eq \f(7,25)，eq \f(24,7)
C．－eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，eq \f(24,7) D.eq \f(24,25)，－eq \f(7,25)，－eq \f(24,7)
[解析] 因为α是第四象限角，且sinα＝－eq \f(3,5)，所以csα＝eq \f(4,5)，所以sin2α＝2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，cs2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(24,7).
[答案] A
5．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则sin2x＝__________.
[解析] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(98,100)
而sin2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))
＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
＝eq \f(2,100)－eq \f(98,100)＝－eq \f(96,100)＝－eq \f(24,25).
[答案] －eq \f(24,25)
课后作业(五十一)
复习巩固
一、选择题
1．已知α是第三象限角，csα＝－eq \f(5,13)，则sin2α等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(120,169) D.eq \f(120,169)
[解析] ∵csα＝－eq \f(5,13)，α是第三象限角，
∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(12,13)(舍正)
因此，sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝eq \f(120,169).
故选D.
[答案] D
2．cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°的值等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)
[解析] 原式＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°
＝1＋eq \f(1,2)sin30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
[答案] C
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cs2α＋1，则sinα＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
[解析] ∵2sin2α＝cs2α＋1，∴4sinα·csα＝2cs2α.∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα>0，sinα>0，∴2sinα＝csα，又sin2α＋cs2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝eq \f(1,5)，又sinα>0，∴sinα＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
[答案] B
4.eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)＝( )
A．－2cs5° B．2cs5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[解析] 原式＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)
＝eq \r(2)(cs50°－sin50°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs50°－\f(\r(2),2)sin50°))
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
[答案] C
5．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，则sin2α等于( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(1,5) C．－eq \f(1,5) D．－eq \f(7,25)
[解析] 因为sin2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1，又cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(3,5)，所以sin2α＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25)，故选D.
[答案] D
二、填空题
6．若sinα－csα＝eq \f(1,3)，则sin2α＝________.
[解析] (sinα－csα)2＝sin2α＋cs2α－2sinαcsα＝1－sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2⇒sin2α＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,9).
[答案] eq \f(8,9)
7．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin10°cs10°)＝________.
[解析] 原式＝eq \f(2sin235°－1,2sin10°cs10°)＝－eq \f(cs70°,sin20°)
＝eq \f(－cs70°,sin90°－70°)＝－1.
[答案] －1
8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.
[解析] 原式＝sin6°cs12°cs24°cs48°
＝eq \f(sin6°cs6°cs12°cs24°cs48°,cs6°)
＝eq \f(\f(1,2)sin12°cs12°cs24°cs48°,cs6°)
＝eq \f(\f(1,4)sin24°cs24°cs48°,cs6°)＝eq \f(\f(1,8)sin48°cs48°,cs6°)
＝eq \f(\f(1,16)sin96°,cs6°)＝eq \f(\f(1,16)cs6°,cs6°)＝eq \f(1,16)
[答案] eq \f(1,16)
三、解答题
9．已知角α在第一象限且csα＝eq \f(3,5)，求eq \f(1＋\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))的值．
[解] ∵csα＝eq \f(3,5)且α在第一象限，∴sinα＝eq \f(4,5).
∴cs2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(7,25)，
sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(24,25)，
∴原式＝eq \f(1＋\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2αcs\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4))),csα)
＝eq \f(1＋cs2α＋sin2α,csα)＝eq \f(14,5).
10．已知sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．
[解] (1)由sineq \f(x,2)－2cseq \f(x,2)＝0，知cseq \f(x,2)≠0，
∴taneq \f(x,2)＝2，
∴tanx＝eq \f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).
(2)由(1)，知tanx＝－eq \f(4,3)，
∴eq \f(cs2x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)＝eq \f(cs2x,－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))－sinx)
＝eq \f(cs2x－sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csx－\f(\r(2),2)sinx))sinx)
＝eq \f(csx－sinxcsx＋sinx,\f(\r(2),2)csx－sinxsinx)
＝eq \r(2)×eq \f(csx＋sinx,sinx)＝eq \r(2)×eq \f(1＋tanx,tanx)＝eq \f(\r(2),4).
综合运用
11.eq \f(sin65°cs25°＋cs65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)＝( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \r(3) D．2
[解析] 原式＝eq \f(sin90°－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq \f(1－tan222.5°,2tan22.5°)
＝eq \f(1,tan45°)＝1.
[答案] B
12．若tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α＝________.
[解析] 由tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(10,3)，得tanα＝eq \f(1,3)或tanα＝3.
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα＝3.∴sinα＝eq \f(3,\r(10))，csα＝eq \f(1,\r(10)).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α
＝sin2αcseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)＋2cseq \f(π,4)cs2α
＝eq \f(\r(2),2)×2sinαcsα＋eq \f(\r(2),2)(2cs2α－1)＋eq \r(2)cs2α
＝eq \r(2)sinαcsα＋2eq \r(2)cs2α－eq \f(\r(2),2)
＝eq \r(2)×eq \f(3,\r(10))×eq \f(1,\r(10))＋2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(10))))2－eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(5\r(2),10)－eq \f(\r(2),2)＝0.
[答案] 0
13．等腰三角形一个底角的余弦为eq \f(2,3)，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
[解析] 设A是等腰△ABC的顶角，则csB＝eq \f(2,3)，
sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B
＝2sinBcsB＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).
[答案] eq \f(4\r(5),9)
14．已知θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(2θ－15°)＝________.
[解析] ∵θ为锐角，cs(θ＋15°)＝eq \f(3,5)，
∴sin(θ＋15°)＝eq \f(4,5)，
∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cs(θ＋15°)＝eq \f(24,25)，
cs(2θ＋30°)＝2cs2(θ＋15°)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).
∴cs(2θ－15°)＝cs(2θ＋30°－45°)
＝cs(2θ＋30°)cs45°＋sin(2θ＋30°)sin45°
＝－eq \f(7,25)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(24,25)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(17\r(2),50).
[答案] eq \f(17\r(2),50)
15．已知0[解] ∵sin2eq \f(x,2)＋eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(x,2)))
＝eq \f(1－csx,2)－eq \r(3)sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)
＝eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)csx))＝eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
∴由已知得eq \f(1,2)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,10)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).∵0结合sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(3,4).
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))),1－tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))))＝eq \f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq \f(24,7).