人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计，文件包含专题24三角恒等变换两角和差正余弦公式正切公式讲原卷版doc、专题24三角恒等变换两角和差正余弦公式正切公式讲解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共22页， 欢迎下载使用。

1．两角差的余弦公式
(1)cs(α－β)＝csαcsβ＋sinα·sinβ．
(2)此公式简记作C(α－β)．
[知识点拨]对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：
公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cs(eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2))中的“eq \f(α＋β,2)”相当于公式中的角α，“eq \f(α－β,2)”相当于公式中的角β．
(3)公式的“活”用：
公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如
cs(α－β)－csαcsβ＝sinαsinβ．
②角的变用，也称为角的变换，如csα＝cs[(α＋β)－β]，cs2β＝cs[(α＋β)－(α－β)]．
2．和角、差角公式如下表：
[知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点
(1)公式中的α、β均为任意角．
(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)csβ－cs(α＋β)sinβ时，不要将sin(α＋β)和cs(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)csβ－cs(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.这也体现了数学中的整体原则．
3．公式
tan(α＋β)＝ eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ) ．
tan(α－β)＝ eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ) ．
4．公式的推导
tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,csα＋β)＝ eq \f(sinαcsβ＋csαsinβ,csαcsβ－sinαsinβ) ，分子分母同除以csαcsβ，得tan(α＋β)＝ eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ) ．
用－β代换β，可得tan(α－β)＝ eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ) ．
1．cs18°sin132°﹣cs72°sin42°的值为 ．
2．已知csθ，且θ∈（，0），则tan（θ）＝ ．
3．已知sinα，cs（α+β），且α，β∈（0，），则sinβ＝ ．
4．设α，β∈（0，π），，则csα＝ ，tan（α+β）＝ ．
5．若偶函数f（x）＝sin（x+θ）﹣2csx（0＜θ＜π），则θ＝ ，f（x）的最大值为 ．
重要考点一：两角差的余弦公式的正用和逆用
【典型例题】化简：cs80°cs20°+sin80°sin20°＝ ．
【题型强化】sin72°cs27°﹣sin18°sin27°的值为 ．
【收官验收】已知cs（α+β），cs2α，α、β均为锐角，则cs（α﹣β）＝ ．
【名师点睛】
运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
重要考点二：给值求值（正余弦公式）
【典型例题】已知α，β，γ∈（0，），sinα+sinγ＝sinβ，csβ+csγ＝csα，则cs（α﹣β）＝ ，α﹣β＝ ．
【题型强化】已知α，β∈（0，），sinα，cs（α+β），则cs（2α+β）＝ ．
【收官验收】已知csα，sin（β﹣α），α，β均为锐角，则sinβ＝ ．
【名师点睛】
给值求值问题的解题策略．
(1)从角的关系中找解题思路：
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换．
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
重要考点三：给值求角（正余弦公式）
【典型例题】若，且，则α+β＝ ．
【题型强化】sin（α）+sin（α）＝sin（2α）1，若α∈[0，]，则α＝ ．
【收官验收】已知α，β为锐角，且csα，csβ，则α﹣β＝ ．
【名师点睛】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
重要考点四：已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误（正余弦公式）
【典型例题】已知α，β为锐角，csα，sin（α+β），则sinβ＝ ．
【题型强化】若α＜π，0＜β，且sin（α），cs（β），则cs（α+β）＝ ．
【收官验收】已知α，β为第二象限的角，，则sin（α+β）的值为 ．
【名师点睛】
对于求角的题，一定要先考虑角的取值范围，这样才不会出错．
重要考点五：辅助角公式及其运用
【典型例题】已知函数f（x）＝sinxcsx．
（Ⅰ）求及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若，求f（x）的值域．
【题型强化】设函数f（x）sinx﹣csx，x∈R．
（1）求的值；
（2）已知，，求的值．
【收官验收】已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．
【名师点睛】
(1)公式形式：公式asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcsα)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)将形如asinα＋bcsα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
重要考点六：公式正用（正切公式）
【典型例题】已知a∈（，π），且sina，则csa＝ ，tan（a）＝ ．
【题型强化】若tan（α﹣β），tanβ，则tan2α＝ ．
【收官验收】已知tanα＝3，，则tanβ的值为 ．
【名师点睛】
此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．
重要考点七：公式的逆用及变形应用（正切公式）
【典型例题】已知△ABC不是直角三角形，C＝45°，则（1﹣tanA）（1﹣tanB）＝ ．
【题型强化】已知sin[2（α+γ）]＝3sin2β，则 ．
【收官验收】若tanα＝3，tan（β﹣2α）＝1，则tan（α﹣β）＝ ．
【名师点睛】
1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．
2．若α＋β＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．
3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
重要考点八：忽略角的范围而致误（正切公式）
【典型例题】已知tan（5π﹣α），tan（β﹣α）＝1，则tanβ＝ ．
【题型强化】若tanα+tanβ＝﹣tan（α+β）＝3，则tanαtanβ＝ ．
【收官验收】已知tan（α+β）＝2，tanβ，则锐角α＝ ．
【名师点睛】
个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘.
知识点课前预习与精讲精析
名称
公式
简记
差的正弦
sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ
S(α－β)
差的余弦
cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
C(α－β)
和的正弦
sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ
S(α＋β)
和的余弦
cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ
C(α＋β)
典型题型与解题方法