数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换获奖ppt课件

课题名

5.5.2   简单的三角恒等变换

教学目标

1.利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式；

2.通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数；

3.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

教学重点

通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数

教学难点

灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都是半角字符.

【想一想】　任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？

【提示】是α的半角，α是2α的半角.

【探究】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？

【提示】能，结果是sin α＝2sin cos ；cos α＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2；tan α＝.

二、讲授新课

1.半角公式：

(1)sin2＝⇒sin＝± ，

(2)cos2＝⇒cos＝± ，

(3)tan2＝⇒tan＝± ，

称之为半角公式，符号由所在象限决定．

1.理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角．

2.确定半角的正弦、余弦、正切值正、负号的方法：

①若给出的角已确定其终边所在象限，则可根据下表确定符号.

②若给出角α的范围(即某一区间)，可先求出的范围，然后再根据的范围确定符号．

③若给出的角的象限不确定，则需分类讨论．

【结论】tan＝＝.

【证明】tan＝＝＝，tan＝＝＝.

【做一做1】已知|cos θ|＝，且＜θ＜3π，求sin ，cos，tan的值．

【解析】∵|cos θ|＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－，＜＜.

∴sin＝－ ＝－，cos＝－ ＝－，∴tan＝＝2.

例1.　已知sin θ＝，且＜θ＜3π.求cos 和tan 的值．

【解析】　∵sin θ＝，＜θ＜3π，∴cos θ＝－＝－.

∵cos θ＝2cos2－1，∴cos2 ＝.又＜＜，

∴cos ＝－ ＝－ ＝－.

tan ＝＝＝＝＝2.

【类题通法】利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．

(4)下结论：结合(2)求值．　　

【巩固练习1】已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值．

【解析】因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝－，cos β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－×＋×＝，又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，所以0<<，所以cos ＝ ＝ ＝.

例2.已知函数.

（1）求函数的单调减区间；

（2）当时，求函数的值域.

【解析】（1）

，

所以

令，解得，

故函数的减区间为.

（2）当时，所以，所以，

故函数的值域为

【类题通法】研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.

【巩固练习2】已知函数.

（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）当时，求的最小值和最大值.

【解析】

，

（1）最小正周期为，由，得出对称轴，；

（2），令，则，，

即最小值为0，最大值为.

3.三角函数式的化简

例3. 化简：    (180°<α<360°)．

【解析】原式＝

＝＝.又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，

∴原式＝＝cosα.

【类题通法】化简问题中的“3变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．

【巩固练习3】已知π<α<，化简：＋.

【解析】原式＝＋，

∵π<α<，∴<<.   ∴cos<0，sin>0.

∴原式＝＋＝－＋  ＝－cos.

三、课堂小结

四、达标检测

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)

A.　　B．－    C．±  D．±

2．函数的最小正周期为________．

3．化简的结果为________．

4．已知＝，则sin x－cos x＝________.

【答案】1.A      2.      3.sin 1＋cos 1      4.

布置作业

完成对应的课后练习

板书设计

教学反思

学生基本上能掌握本节课内容，不过还需要多加练习，特别要注意三角函数值的范围。