高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）学案，共13页。

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)








在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．





(1) (2)


将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？


问题：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最值分别受哪些量的影响？


(2)如何做出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象？


提示：(1)在函数y＝Asin(ωx＋φ)中最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝eq \f(2π,|ω|).


(2)方法一：五点作图法．方法二：图象的变换．





1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响





2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响





3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响








1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝sin 3x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位所得图象的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).( )


(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )


(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝eq \f(1,2)sin x．( )


[提示] (1)错误．y＝sin 3x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(3,4)π)).


(2)错误．y＝sin 2x应改为y＝sineq \f(1,2)x.


(3)错误．y＝eq \f(1,2)sin x应改为y＝2sin x.


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为( )


A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．]


3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝ .


4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]








【例1】 (1)将函数y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ．


(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象？


[思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．


(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．


法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．


(1)y＝－eq \r(2)cs 2x－3 [y＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，


得y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \r(2)cs(2x＋π)＝－eq \r(2)cs 2x，


再向下平移3个单位长度得y＝－eq \r(2)cs 2x－3的图象．]


(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位，得y＝2sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))的图象；


④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，


得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．


法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移eq \f(π,4)个单位，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1的图象．





由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asinωx＋φA＞0，ω＞0的图象，其变化途径有两条：





提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：1是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.2是先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.





eq \([跟进训练])


1．(1)要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )


A．向左平移eq \f(π,8)个单位B．向右平移eq \f(π,8)个单位


C．向左平移eq \f(π,4)个单位 D．向右平移eq \f(π,4)个单位


(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移eq \f(π,6)个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)的解析式是( )


A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝3sin x


C．f(x)＝3cs x＋3 D．f(x)＝sin 3x


(1)A (2)A [(1)因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))


＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))，


所以将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位，


得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象．


(2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(――――――→,\s\up7(纵坐标伸长),\s\d14(到原来的\f(3,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))


eq \(――――――→,\s\up7(横坐标缩短),\s\d14(到原来的\f(1,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))





＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))


＝3cs x．]


【例2】 (1)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )





A．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4


C．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2D．y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2


(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2)，且图象如图所示，求其解析式．





[思路点拨] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.


(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得


A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，


函数f(x)的周期为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，


所以ω＝eq \f(1,2)，又因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，6))在函数f(x)的图象上．


所以6＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝1，


所以eq \f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq \f(π,2)，


所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.]


(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，又由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－eq \f(π,6)×2＋φ＝0得φ＝eq \f(π,3)，


所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).


法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，


又图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋φ))＝0，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋φ))＝0，－eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以k＝0，φ＝eq \f(π,3)，所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).


法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移eq \f(π,6)个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).





确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：


1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.


2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：


“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；


“第二点”即图象的“峰点”为；


“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；


“第四点”即图象的“谷点”为；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.





eq \([跟进训练])


2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．


[解] 由最低点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.


在x轴上两相邻交点之间的距离为eq \f(π,2)，故eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，


即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.


由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上得


2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，


∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴φ＝eq \f(π,6).故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).


[探究问题]


1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程？


提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωeq \x(x)＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．


函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)；


函数y＝Acs(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cs(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Acs(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)．


2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acs(ωx＋φ)的对称中心？


提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．


函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心对称；


函数y＝Acs(ωx＋φ)对称中心的求法：令cs(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Acs(ωx＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋1π－2φ,2ω)，0))(k∈Z)成中心对称．


【例3】 (1)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝( )


A.eq \f(2,3) B．eq \f(14,3)


C.eq \f(26,3) D．eq \f(38,3)


(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．


[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．


(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.


(1)B [因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以直线x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,4)是函数f(x)图象的一条对称轴，


又因为f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，


所以当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最小值．


所以eq \f(π,4)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝8k－eq \f(10,3)，(k∈Z)


又因为T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以ω≤12，又因为ω＞0，


所以k＝1，即ω＝8－eq \f(10,3)＝eq \f(14,3).]


(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，


∴f(x)在x＝0时取得最值，


即sin φ＝1或－1.


依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝eq \f(π,2).


由f(x)的图象关于点M对称，可知，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，即eq \f(3π,4)ω＋eq \f(π,2)＝kπ，解得ω＝eq \f(4k,3)－eq \f(2,3)，k∈Z.


又f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，所以T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π.


∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝eq \f(2,3)；k＝2时，ω＝2.


故φ＝eq \f(π,2)，ω＝2或eq \f(2,3).





1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数”改为“在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))上为增函数”，试求ω的最大值．


[解] 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.


因为f(x)＝sin ωx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))上是增函数．


所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))，


于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＞0，,－\f(3π,2)≥－\f(π,2ω),\f(π,2)≤\f(π,2ω)，))，


解得0＜ω≤eq \f(1,3)，


所以ω的最大值为eq \f(1,3).


2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin 2x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))的最大值．


[解] 由条件知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，


由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,8)))得2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，


sin 2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，


y＝f2(x)＋sin 2x＝cs22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－(sin 2x－eq \f(1,2))2＋eq \f(5,4).


所以当sin 2x＝eq \f(1,2)时ymax＝eq \f(5,4).





1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法


正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acs(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时为奇函数．


2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧


(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．


(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．











1．准确理解3种变换


(1)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．


(2)由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．


2．规避1个误区


先平移变换与先伸缩变换作图时平移的量不一样．





1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象( )


A．向左平移eq \f(π,6)个单位B．向左平移eq \f(π,12)个单位


C．向右平移eq \f(π,12)个单位 D．向右平移eq \f(π,6)个单位


[答案] D


2．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为 ．


eq \f(1,2) [函数y＝cs xeq \f(纵坐标不变，横坐标变为,原来的2倍)y＝cseq \f(1,2)x.所以ω＝eq \f(1,2).]


3．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移 个单位，后者需向左平移 个单位．








4．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移eq \f(π,2)个单位长度，这样得到的图象与y＝eq \f(1,2)sin x的图象相同，则f(x)的解析式为 ．





5．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．





[解]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)


2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)


3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)
1. 通过函数图象的变换，培养直观想象素养.


2. 借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.
三角函数图象之间的变换
已知函数图象求解析式
三角函数图象与性质的综合应用