人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第4课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优质第4课时导学案，共13页。学案主要包含了给角求值，给值求值，化简与证明等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.


2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．





知识点 二倍角公式





思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？


答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为eq \f(α,2)的二倍，3α作为eq \f(3α,2)的二倍，α＋β作为eq \f(α＋β,2)的二倍等情况．


预习小测 自我检验


1．已知sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝________.


答案 eq \f(24,25)


2．已知cs α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝________.


答案 －eq \f(7,9)


3．cs245°－sin245°＝________.


答案 0


4．已知tan α＝eq \f(4,3)，则tan 2α＝________.


答案 －eq \f(24,7)





一、给角求值


例1 求下列各式的值：


(1)2cs2eq \f(25π,12)－1；(2)eq \f(1－tan2\f(π,8),tan \f(π,8))；(3)cs 20°cs 40°cs 80°.


解 (1)原式＝cs eq \f(25π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).


(2)原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan2\f(π,8))),2tan \f(π,8))＝2×eq \f(1,\f(2tan \f(π,8),1－tan2\f(π,8)))＝2×eq \f(1,tan \f(π,4))＝2.


(3)原式＝eq \f(2sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,2sin 20°)＝eq \f(2sin 40°cs 40°cs 80°,4sin 20°)


＝eq \f(2sin 80°cs 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(sin 20°,8sin 20°)＝eq \f(1,8).


反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：


(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．


(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．


跟踪训练1 求下列各式的值：


(1)sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,6)；


(2)cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)；


(3)eq \f(2tan 15°,1－tan215°).


解 (1)原式＝eq \f(1,2)×2sin eq \f(π,6)cs eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4).


(2)原式＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).


(3)原式＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).


二、给值求值


例2 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α

的值．


解 ∵eq \f(π,2)≤α

∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))>0，∴eq \f(3π,2)<α＋eq \f(π,4)

∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5).


∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))


＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，


sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))


＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25).


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α


＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)－\f(7,25)))


＝－eq \f(31\r(2),50).


延伸探究


1．若本例条件不变，求eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．


解 原式＝eq \f(cs2α－sin2α,sin \f(π,4)cs α＋cs \f(π,4)sin α)＝eq \r(2)(cs α－sin α)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(6,5).


2．若本例条件变为：若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的值．


解 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，


得sin xcs eq \f(π,6)－cs xsin eq \f(π,6)＝eq \f(3,5)，


两边平方，


得eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),4)sin 2x＝eq \f(9,25)，


∴eq \f(1,2)·eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),4)sin 2x＝eq \f(9,25)，


即sin 2x·eq \f(\r(3),2)＋cs 2x·eq \f(1,2)＝eq \f(7,25)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝eq \f(7,25).


反思感悟 解决给值求值问题的方法


给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：


(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；


(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．


(3)注意几种公式的灵活应用，如：


①sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))


＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；


②cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).


跟踪训练2 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0

解 原式＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).


∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \f(5,13)，且0

∴eq \f(π,4)＋x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(12,13)，


∴原式＝2×eq \f(12,13)＝eq \f(24,13).


三、化简与证明


例3 (1)化简：eq \f(sin 2x,2cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan xtan \f(x,2))).


(2)求证：eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4A.


(1)解 eq \f(sin 2x,2cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan xtan \f(x,2)))＝eq \f(sin 2x,2cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin xsin \f(x,2),cs xcs \f(x,2))))


＝eq \f(2sin xcs x,2cs x)·eq \f(cs xcs \f(x,2)＋sin xsin \f(x,2),cs xcs \f(x,2))＝sin x·eq \f(cs \f(x,2),cs xcs \f(x,2))＝tan x.


(2)证明 因为左边＝eq \f(3－4cs 2A＋2cs22A－1,3＋4cs 2A＋2cs22A－1)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs 2A,1＋cs 2A)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin2A,2cs2A)))2＝(tan2A)2


＝tan4A＝右边，


所以eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4A.


反思感悟 证明问题的原则及一般步骤


(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．


(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．


跟踪训练3 (1)化简：eq \f(1,cs 2θ)－tan θtan 2θ.


(2)求证：sin3αsin 3α＋cs3αcs 3α＝cs32α.


(1)解 eq \f(1,cs 2θ)－tan θtan 2θ＝eq \f(1,cs 2θ)－eq \f(sin θsin 2θ,cs θcs 2θ)


＝eq \f(cs θ－2sin2θcs θ,cs θcs 2θ)＝eq \f(1－2sin2θ,cs 2θ)＝eq \f(cs 2θ,cs 2θ)＝1.


(2)证明 左边＝sin2αsin αsin 3α＋cs2αcs αcs 3α


＝eq \f(1－cs 2α,2)sin αsin 3α＋eq \f(1＋cs 2α,2)cs αcs 3α


＝eq \f(1,2)(sin αsin 3α＋cs αcs 3α)＋eq \f(1,2)cs 2α(－sin αsin 3α＋cs αcs 3α)


＝eq \f(1,2)cs(α－3α)＋eq \f(1,2)cs 2αcs(3α＋α)


＝eq \f(1,2)cs 2α＋eq \f(1,2)cs 2αcs 4α


＝eq \f(1,2)cs 2α(1＋cs 4α)


＝eq \f(1,2)cs 2α·2cs22α＝cs32α＝右边．





1．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )


A．2sin 15°cs 15° B．cs215°－sin215°


C．2sin215° D．sin215°＋cs215°


答案 B


解析 2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)；


cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)；


2sin215°＝1－cs 30°＝1－eq \f(\r(3),2)；


sin215°＋cs215°＝1，故选B.


2．若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cs α等于( )


A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)


答案 C


解析 因为sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，


所以cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3).


3．sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)等于( )


A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)


答案 B


解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))


＝－cs eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).


4．cs275°＋cs215°＋cs 75°cs 15°的值等于( )


A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)


答案 C


解析 原式＝sin215°＋cs215°＋sin 15°cs 15°


＝1＋eq \f(1,2)sin 30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).


5．sin 22.5°cs 202.5°＝________.


答案 －eq \f(\r(2),4)


解析 sin 22.5°cs 202.5°＝sin 22.5°·(－cs 22.5°)


＝－eq \f(1,2)sin 45°＝－eq \f(\r(2),4).





1．知识清单：


(1)二倍角公式的推导；


(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值．


2．方法归纳：换元思想，整体思想．








1．sin 15°sin 75°的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(3),4)


答案 C


解析 原式＝sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)(2sin 15°cs 15°)


＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4).


2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,8)－sin \f(π,8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,8)＋sin \f(π,8)))的值为( )


A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)


答案 D


解析 原式＝cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).


3．已知α是第二象限角，sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)，则cs 2α等于( )


A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),9) C.eq \f(\r(5),9) D.eq \f(\r(5),3)


答案 A


解析 由sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)，


平方得1＋2sin αcs α＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)，


∴2sin αcs α＝－eq \f(2,3).


∴(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(5,3).


∵α是第二象限角，∴sin α>0，cs α<0.


∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(15),3)，


∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝(cs α＋sin α)·(cs α－sin α)＝－eq \f(\r(5),3).


4．若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α等于( )


A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)


答案 B


解析 因为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，


整理得tan α＝－3，


所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×－3,1－－32)＝eq \f(3,4).


5．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，则tan α的值等于( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)


C.eq \r(2) D.eq \r(3)


答案 D


解析 ∵sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，


∴sin2α＋cs2α－sin2α＝cs2α＝eq \f(1,4).


∴cs α＝±eq \f(1,2).


又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2).


∴tan α＝eq \r(3).


6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，则sin 2θ－2cs2θ＝________.


答案 －eq \f(4,5)


解析 由已知，得eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝3，解得tan θ＝eq \f(1,2).


所以sin 2θ－2cs2θ＝eq \f(2sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)


＝eq \f(2tan θ－2,tan2θ＋1)＝eq \f(2×\f(1,2)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(4,5).


7．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin 10°cs 10°)＝________.


答案 －1


解析 原式＝eq \f(2sin235°－1,2sin 10°cs 10°)＝－eq \f(cs 70°,sin 20°)


＝eq \f(－cs 70°,sin90°－70°)＝－1.


8．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，则sin 2x的值等于________．


答案 eq \f(7,25)


解析 方法一 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))


＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25)，


所以sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝eq \f(7,25).


方法二 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，


得eq \f(\r(2),2)(sin x－cs x)＝－eq \f(3,5)，


所以sin x－cs x＝－eq \f(3\r(2),5)，两边平方得


1－sin 2x＝eq \f(18,25)，


所以sin 2x＝eq \f(7,25).


9．已知tan α＝eq \f(1,7)，tan β＝eq \f(1,3)，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．


解 tan 2β＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝eq \f(3,4)，


tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan αtan 2β)＝1.


因为α，β均为锐角，且tan α＝eq \f(1,7)<1，tan β＝eq \f(1,3)<1，


所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，


所以α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，


所以α＋2β＝eq \f(π,4).


10．已知cs x＝eq \f(\r(10),10)，且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x的值．


解 ∵cs x＝eq \f(\r(10),10)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，


∴sin x＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3\r(10),10)，


∴sin 2x＝2sin xcs x＝－eq \f(3,5)，


∴eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sin2x


＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs \f(π,4)－sin 2xsin \f(π,4)))＋eq \f(1－cs 2x,2)


＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(4,5).





11．设sin α＝eq \f(1,3)，2π<α<3π，则sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)等于( )


A．－eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(\r(3),3)


答案 A


解析 ∵sin α＝eq \f(1,3)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2＝1＋sin α＝eq \f(4,3).


又2π<α<3π，∴π

∴sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)＝－eq \f(2\r(3),3).


12．已知函数f(x)＝eq \f(cs 2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0

A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值


B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0


C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值


D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值


答案 D


解析 因为f(x)＝eq \f(cs 2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs 2x－1,sin 2x)


＝eq \f(－2sin2x,2sin xcs x)＝－tan x,0

所以函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值，故选D.


13．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是______．


答案 eq \r(3)


解析 ∵sin 2α＝－sin α，


∴2sin αcs α＝－sin α.


由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，


∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，


∴tan 2α＝tan eq \f(4π,3)＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3).


14．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．


答案 －4


解析 ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x


＝－cs 2x－3cs x


＝－2cs2x－3cs x＋1，


令t＝cs x，则t∈[－1,1]，


∴f(t)＝－2t2－3t＋1.


又函数f(t)图象的对称轴t＝－eq \f(3,4)∈[－1,1]，且开口向下，


∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.


综上，f(x)的最小值为－4.





15．等腰三角形一个底角的余弦值为eq \f(2,3)，那么这个三角形顶角的正弦值为________．


答案 eq \f(4\r(5),9)


解析 设A，B分别是等腰△ABC的顶角和底角，


则cs B＝eq \f(2,3)，


sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).


所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcs B＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).


16．已知α为锐角且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝3.


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))cs α－sin α,cs 2α)的值．


解 (1)因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝3，所以eq \f(tan \f(π,4)＋tan α,1－tan \f(π,4)tan α)＝3，


即eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝3，解得tan α＝eq \f(1,2).


(2)eq \f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))cs α－sin α,cs 2α)


＝eq \f(cs αsin 2α＋cs 2α－sin α,cs 2α)


＝eq \f(2cs2αsin α＋cs 2αcs α－sin α,cs 2α)


＝eq \f(cs 2αcs α＋sin α,cs 2α)＝cs α＋sin α.


因为α为锐角且tan α＝eq \f(1,2)，


所以cs α＝2sin α.


由sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝eq \f(1,5)，


所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，


可得cs α＋sin α＝eq \f(3\r(5),5).即原式＝eq \f(3\r(5),5).